Dimensione soluzioni $AX=K$
È corretto affermare che la dimensione delle soluzioni di un sistema non omogeneo è uguale alla dimensione del nucleo della funzione associata alla matrice?
Risposte
a me sembra di no. prendi per esempio il sistema
$S:= { ( x-y=1 ),( x+y=0 ):} $
il nucleo è banale ($kerS ={0}$) e quindi ha dimensione 0, ma il sistema una soluzione ce l'ha.
penso comunque che qui intendessi la dimensione del kernel.
un'ultima cosa: e se il sistema non ha soluzioni che dimensione avrebbe? secondo me ha poco senso porsi questa domanda in quanto che io sapessi il concetto di dimensione è definito per spazi vettoriali e la soluzione di un sistema lineare non omogeneo è uno spazio affine.
$S:= { ( x-y=1 ),( x+y=0 ):} $
il nucleo è banale ($kerS ={0}$) e quindi ha dimensione 0, ma il sistema una soluzione ce l'ha.
"wall98":
è uguale al nucleo
penso comunque che qui intendessi la dimensione del kernel.
un'ultima cosa: e se il sistema non ha soluzioni che dimensione avrebbe? secondo me ha poco senso porsi questa domanda in quanto che io sapessi il concetto di dimensione è definito per spazi vettoriali e la soluzione di un sistema lineare non omogeneo è uno spazio affine.
"wall98":
è uguale al nucleo
penso comunque che qui intendessi la dimensione del kernel.
un'ultima cosa: e se il sistema non ha soluzioni che dimensione avrebbe? secondo me ha poco senso porsi questa domanda in quanto che io sapessi il concetto di dimensione è definito per spazi vettoriali e la soluzione di un sistema lineare non omogeneo è uno spazio affine.[/quote]
Qui siamo parzialmente d'accordo. Il concetto di dimensione è definito anche per gli spazi affini, in realtà. Ma non penso fosse quella la domanda dell'OP
No, non è vero. Un sistema ha soluzione sse $(A|b)$ ha lo stesso rango di $A$, e \(\#\ker A + \# \text{im } A\) uguaglia il numero delle colonne di $A$. Non appena quest'ultimo numero è dispari, non può essere uguale a $2k$. (# è la dimensione, non avevo voglia di scrivere tanto 
)
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Ripropongo la proposizione: dato $AX=K $, l'insieme delle soluzioni (se non è vuoto) ha cardinalita pari alla cardinalita di $kerA$.
In realtà vorrei estendere la cardinalita a infiniti di ordini superiori al primo, ma non so come farlo formalmente.
Perche supponi $#ImA=#KerA$ ?
In realtà vorrei estendere la cardinalita a infiniti di ordini superiori al primo, ma non so come farlo formalmente.
"killing_buddha":
No, non è vero. Un sistema ha soluzione sse $ (A|b) $ ha lo stesso rango di $ A $, e \( \#\ker A + \# \text{im } A \) uguaglia il numero delle colonne di $ A $. Non appena quest'ultimo numero è dispari, non può essere uguale a $ 2k $. (# è la dimensione, non avevo voglia di scrivere tanto
Perche supponi $#ImA=#KerA$ ?
L'idea è corretta ma non è questione di cardinalità. La cardinalità di \(\mathbb R\) è la stessa di \(\mathbb R^2\), per esempio, quindi non è una buona misura per la dimensione. In effetti esistono un sacco di "dimensioni" in matematica, è un concetto che ha molte sfaccettature.
Grosso modo la dimensione di un oggetto è il numero minimo di parametri necessari a descriverlo completamente. Per questo negli spazi vettoriali si usa come dimensione il numero di elementi di una base. Nel caso degli spazi affini, che sono grosso modo gli insiemi di soluzioni di sistemi lineari non necessariamente omogenei, la dimensione è uguale *per definizione* alla dimensione dello spazio vettoriale associato, che in italiano si chiama *giacitura*.
Grosso modo la dimensione di un oggetto è il numero minimo di parametri necessari a descriverlo completamente. Per questo negli spazi vettoriali si usa come dimensione il numero di elementi di una base. Nel caso degli spazi affini, che sono grosso modo gli insiemi di soluzioni di sistemi lineari non necessariamente omogenei, la dimensione è uguale *per definizione* alla dimensione dello spazio vettoriale associato, che in italiano si chiama *giacitura*.
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