Dimensione Intersezioni sottospazi vettoriali

[Silente91]

Buonasera ragazzi,

mi sono imbattuto in questo esercizio (molto semplice) che mi sta creando qualche problema.

Il testo è il seguente:

Dati i sottospazi vettoriali di $R^4$: $W_1={(x,y,z,t) in R^4 : x=z}$ e $W_2=L((2,1,2,0),(1,1,1,1),(3,2,3,1))$.
Calcolare la dimensione di $W_1 nn W_2$

Io l'ho svolto in questo modo:

Ho intanto trovato il sottospazio vettoriale $W_1=L((1,0,1,0))$, successivamente mi sono calcolato la dimensione del sottospazio $W_1+W_2$ calcolando il rango della seguente matrice

$( ( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 2 , 1 , 2 , 0 ),( 1 , 1 , 1 , 1 ),( 3 , 2 , 3 , 1 ) ) = 3$

Quindi, usando la formula di Grassman so che: $dim W_1 + dim W_2 = dim(W_1+W_2) + dim (W_1 nn W_2)$ quindi $1+3=3+1$

La dimensione del sottospazio intersezione dovrebbe essere 1...ma come mai il libro mi da come risultato 2?
Dove sbaglio?

Grazie

[cooper1]

hai sbagliato a calcolare $W_1$. un suo generico vettore è $(z,y,z,t)$. quindi $W_1$ è generato da $(1,0,1,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)$
PS: la notazione $L(v_i)$ significa che lo spazio è generato dall'insieme di quei vettori?

[Silente91]

Si esatto, che è generato dall'insieme di quei vettori

[cooper1]

allora si è tutto corretto, devi solo considerare tutti e tre i vettori di $W_1$

[Silente91]

Ma come mai devo considerare tutti e tre i vettori?

La definizione del sottospazio non considera solo x-z=0?

[cooper1]

quel solo vettore non genera tutto lo spazio. e comunque è utile perchè così estraiamo una base che ci serve per determinare una base della somma.