Dimensione immagine di un sottospazio.

[billytalentitalianfan]

Sia A la matrice associata all'applicazione lineare $L:R^3->R^2$ definita dalle equazioni:
$2x-2y-z, y+z$ .
Come faccio a stabilire la dimensione di L(U), essendo U un sottospazio di $R^3$ definito dall'equazione 2x+z=0 ?
Poiché siamo in $R^3$ , dim(U)=2.
Ma cosa posso dire per quanto riguarda dim(L(U))?
Ho provato a calcolare l'immagine dei vettori della base di U e ho trovato questi essere l.i. ; significa qualcosa questo?

[mistake89]

che è una base di $L(U)$ che pertanto ha dimensione $2$ - se i conti son corretti.
Oppure potresti provare a trovare il $kerL$ e vedere che dimensione ha, e da ciò ricavare la dimensione dell'immagine.

[billytalentitalianfan]

Si effettivamente l'avevo supposto; il problema è che, nonostante r(A)=2---> dimImL=2, il libro di testo STAMPA come risultato dim(L(U))=1.
Errore di stampa?

[Fox4]

a me pare che il libro abbia ragione,

prendi [tex]U[/tex], esso è l'insieme della forma [tex](-\frac{z}{2},y,z)[/tex]

se guardi l'immagine [tex]L(U)[/tex] è l'insieme [tex](-2\ (y+z)\ ,\ y+z)[/tex] e mi sembra proprio che si sia perso un grado di libertà, salvo clamorosi abbagli.
Guarda un pò...

[billytalentitalianfan]

Ma allora il ragionamento che avevo impostato io (quello di vedere come si comportano le immagini dei vettori di U) non ha senso?
Voglio dire..seguendo il mio, vengon fuori due vettori l.i. ecc ecc ecc

[mistake89]

No il ragionamento è corretto, sono i conti ad essere sbagliati.
Considera un generico vettore di $U$, cioè $(x,y,-2x)$ da cui una base sarà $(1,0,-2),(0,1,0)$.
Considera ora $f(1,0,-2)=(4,-2)$, $f(0,1,0)=(-2,1)$ che sono ovviamente linearmente dipendenti. Quindi $dimL(U)=1$