Dimensione e base per il nucleo e l'immagine

[asder83]

$f:R4->R3$ tale che$ f(x,y,z,t)=(x-t,-x+t,8y+3z)$

Ho provato a svolgerlo così:
$ ( ( 1 , 0 , 0 , -1 ),( -1 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 8 , 3 , 0 ) ) $
e ho trovato che il $rango=2$, infatti $ ( ( 1 , 0 , 0 , -1 ),( 0 , 8 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
$rango=2$ quindi $dim(Im(f))=2$
e per trovare una base per l'immagine ho considerato le colonne dove ci sono i pivot e quindi ho preso i vettori $(1,-1,0),(0,0,8)$
ora dal teorema della dimensione ho ricavato $dim(ker(f)$
ovvero $dim(R4)=dim(ker(f))+dim(Im(f)) $ cioè $ 4=2+2$
ne deduco che l'applicazione non è iniettiva nè suriettiva.
Come trovo la base per il nucleo?
Quello che ho scritto è tutto corretto?

[EveyH]

Il nucleo è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo associato alla matrice.
Risolvi il sistema e separi le variabili libere (ce ne sarà almeno 1 visto che il rango è 2 e la matrice è da 3 righe).
A quel punto lo span delle soluzioni è una base del tuo nucleo (se i vettori sono anche lineramente indipendenti).

[asder83]

quindi $x3(0,-3,1,0)+x4(-1,0,0,1)$
Base nucleo $={(0,-3,1,0),(-1,0,0,1)}$
esatto?
e tutto quello che avevo scritto prima è corretto?

[EveyH]

No, dovrebbe essere
$<(1,0,0,1),(0,-3/8,1,0)>$
Poiché i 2 vettori sono lin. indip. formano anche una base.
Non so come ti vengono quei valori, io ho risolto il sistema lineare
$x_1-x_4=0$
$8x_2+3x_3=0$

[asder83]

perfetto, mi trovo. il resto l'ho svolto bene?

[EveyH]

Non ho fatto i conti ma concettualmente mi sembra ok
Magari per sicurezza aspetta qualcuno più esperto di me.

[asder83]

Qualcuno più esperto può dirmi se l'ho fatto bene?