Dimensione e base di uno spazio vettoriale
Salve ragazzi!
Stavo affrontando questo esercizio di algebra lineare ma nonostante abbia studiato la teoria non riesco ancora a capire come svolgere determinati esercizi.
La traccia dell'argomento in questione è la seguente:
Sia dato lo spazio vettoriale $F_\omega = { A sen (\omega t + \phi) | A \geqslant 0, \phi in RR}$. Provare che $ dim_RR F_\omega = 2$. [Cenno: $V = (sen \omega t , cos \omega t)$ è una base di $F_\omega$].
- Si determinino $\alpha_1 , \alpha_2 in RR$ tali che $f(t) = \alpha_1 sen \omega t + \alpha_2 cos \omega t$, nei seguenti casi:
$f(t) = 3 sen (\omega t + (\pi/2)) , f(t) = sqrt(2) sen (\omega t + (\pi /3), f(t) = 5 sen (\omega t + (\pi/2)) + 2 sen (\omega t -(\pi/3))$;
- Sia $W= (sen(\omega t + (\pi/3)), sen (\omega t - (\pi/3))$; si provi che $W$ è una base di $F_\omega$; si modifichino le due precedenti domande sostituendo $W$ al posto di $V$, e se ne diano le risposte.
Al primo punto la dimensione di $F_\omega$ dovrebbe essere proprio 2 in quanto la base $V$ ha cardinalità 2. Non riesco però a dimostrarlo algebricamente.
Inoltre, non ho capito bene come dimostrare l'appartenenza di una base ad un dato spazio vettoriale. Spero in una vostra risposta e scusate se le domande sono banali ma, essendo ancora agli inizi nello studio della materia, incontro ancora una certa difficoltà nella comprensione degli esercizi e nel passaggio dalla teoria alla pratica.
Grazie a tutti in anticipo!
Stavo affrontando questo esercizio di algebra lineare ma nonostante abbia studiato la teoria non riesco ancora a capire come svolgere determinati esercizi.
La traccia dell'argomento in questione è la seguente:
Sia dato lo spazio vettoriale $F_\omega = { A sen (\omega t + \phi) | A \geqslant 0, \phi in RR}$. Provare che $ dim_RR F_\omega = 2$. [Cenno: $V = (sen \omega t , cos \omega t)$ è una base di $F_\omega$].
- Si determinino $\alpha_1 , \alpha_2 in RR$ tali che $f(t) = \alpha_1 sen \omega t + \alpha_2 cos \omega t$, nei seguenti casi:
$f(t) = 3 sen (\omega t + (\pi/2)) , f(t) = sqrt(2) sen (\omega t + (\pi /3), f(t) = 5 sen (\omega t + (\pi/2)) + 2 sen (\omega t -(\pi/3))$;
- Sia $W= (sen(\omega t + (\pi/3)), sen (\omega t - (\pi/3))$; si provi che $W$ è una base di $F_\omega$; si modifichino le due precedenti domande sostituendo $W$ al posto di $V$, e se ne diano le risposte.
Al primo punto la dimensione di $F_\omega$ dovrebbe essere proprio 2 in quanto la base $V$ ha cardinalità 2. Non riesco però a dimostrarlo algebricamente.
Inoltre, non ho capito bene come dimostrare l'appartenenza di una base ad un dato spazio vettoriale. Spero in una vostra risposta e scusate se le domande sono banali ma, essendo ancora agli inizi nello studio della materia, incontro ancora una certa difficoltà nella comprensione degli esercizi e nel passaggio dalla teoria alla pratica.
Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
[xdom="speculor"]Avevi inserito lo stesso messaggio due volte. Dovresti fare più attenzione. Grazie.[/xdom]
A me è comparso una sola volta! Non so come possa essere successo...comunque, grazie!
Dovresti usare questa formula $sin(\alpha+\beta) = sin\alpha\ cos\beta + cos\alpha sin\beta$.....
Hint : $sin (omega t), cos (omega t) $ sono due funzioni linearmente indipendenti ( non è difficile dimostrare che lo sono ); inoltre le loro combinazioni lineari $ alpha_1* sin (omega t ) + alpha_2 *cos (omega t) $ con $ alpha_1,alpha_2 in RR$ rappresentano qualunque funzione del tipo $Acos( omega t +Phi )$ infatti vedi suggerimento di Quinzio...
Dunque $F_(omega) $ è uno spazio vettoriale di dimensione $2$ e $V $ ne è una base, una delle infinite basi.
Dunque $F_(omega) $ è uno spazio vettoriale di dimensione $2$ e $V $ ne è una base, una delle infinite basi.
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