Dimensione e base di uno spazio vettoriale
Buongiorno a tutti!
Qual'è il procedimento standard per determinare dimensione e base di uno spazio vettoriale??
Io ho fatto a lezione esercizi per determinare dimensione e spazio ma sui sottospazi vettoriali e li ho capiti bene, tuttavia in questi 3 casi di esercizi non so proprio come iniziare perchè sono molto diversi da quelli fatti e spiegati a lezione.
Ecco il testo:
"Trovare dimensione e base di:
1) {(x,y,z) appartiene ad R^3: x+2y+z=0}
2) {ax^2+bx+c appartiene ad R^2[x]: 2a+3b=0}
3) {
(a b) appartiene ad M(2,2): a+c+d=0}
(c d)
Me li potreste spiegare con il procedimento?
Grazie mille, Alessandro
Qual'è il procedimento standard per determinare dimensione e base di uno spazio vettoriale??
Io ho fatto a lezione esercizi per determinare dimensione e spazio ma sui sottospazi vettoriali e li ho capiti bene, tuttavia in questi 3 casi di esercizi non so proprio come iniziare perchè sono molto diversi da quelli fatti e spiegati a lezione.
Ecco il testo:
"Trovare dimensione e base di:
1) {(x,y,z) appartiene ad R^3: x+2y+z=0}
2) {ax^2+bx+c appartiene ad R^2[x]: 2a+3b=0}
3) {
(a b) appartiene ad M(2,2): a+c+d=0}
(c d)
Me li potreste spiegare con il procedimento?
Grazie mille, Alessandro
Risposte
E' obbligatorio esporre almeno qualche idea...
Per prima cosa, per ciascuno degli spazi vettoriali dovresti trovare una base: a quel punto la dimensione viene da sè.
Dovresti sapere che $RR_{2} [x]$ è uno spazio vettoriale di dimensione tre ed una sua base è $1 , x , x^2$. Le coordinate del polinomio $a x^2 + b x + c$ rispetto a tale base sono dunque $(a,b,c)$. Quindi $RR_2 [x]$ è isomorfo ad $RR^3$ come spazio vettoriale e la domanda 2) si riconduce, in sostanza, al caso di 1).
Come scriveresti un generico vettore di $\{(x,y,z) \in RR^3 : x+2y+z=0 \}$?
Per prima cosa, per ciascuno degli spazi vettoriali dovresti trovare una base: a quel punto la dimensione viene da sè.
Dovresti sapere che $RR_{2} [x]$ è uno spazio vettoriale di dimensione tre ed una sua base è $1 , x , x^2$. Le coordinate del polinomio $a x^2 + b x + c$ rispetto a tale base sono dunque $(a,b,c)$. Quindi $RR_2 [x]$ è isomorfo ad $RR^3$ come spazio vettoriale e la domanda 2) si riconduce, in sostanza, al caso di 1).
Come scriveresti un generico vettore di $\{(x,y,z) \in RR^3 : x+2y+z=0 \}$?
Salve Seneca!
Innanzitutto grazie per la risposta!
Anche il mio prof di esercitazione mi aveva spiegato che R3[x] è uno spazio vettoriale di dimensione 3+1 ed una sua base è 1,x,x2,x3, tuttavia le soluzioni del primo esercizio che ho scritto sono: “dimensione 2, base: (1,1,-3),(0,2,-4)” e quindi dato che non tornava ho voluto chiedere qui.
Sono sbagliate le soluzioni vero??
Per la risoluzione dei miei 3 esercizi invece non so proprio da dove iniziare per trovare le basi.
In classe abbiamo fatto solo esercizi del tipo:
“ Trova le basi di
(0 a b)
(-a 0 c)
(-b –c 0)
E questo lo so risolvere usando Grassman ed ottenendo 3 basi”.
Mi mostri il procedimento per trovare le basi dei 3 esercizi che ho scritto io per favore?? Mi trovo molto meglio a capirli con tutto il procedimento davanti.
Grazie mille!
Innanzitutto grazie per la risposta!
Anche il mio prof di esercitazione mi aveva spiegato che R3[x] è uno spazio vettoriale di dimensione 3+1 ed una sua base è 1,x,x2,x3, tuttavia le soluzioni del primo esercizio che ho scritto sono: “dimensione 2, base: (1,1,-3),(0,2,-4)” e quindi dato che non tornava ho voluto chiedere qui.
Sono sbagliate le soluzioni vero??
Per la risoluzione dei miei 3 esercizi invece non so proprio da dove iniziare per trovare le basi.
In classe abbiamo fatto solo esercizi del tipo:
“ Trova le basi di
(0 a b)
(-a 0 c)
(-b –c 0)
E questo lo so risolvere usando Grassman ed ottenendo 3 basi”.
Mi mostri il procedimento per trovare le basi dei 3 esercizi che ho scritto io per favore?? Mi trovo molto meglio a capirli con tutto il procedimento davanti.
Grazie mille!
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