Dimensione e base dell'immagine e del nucleo di un'applicazione lineare

[BruceChetta1]

Ciao a tutti Mi sono sorti dei dubbi riguardo questo esercizio
"Determinare dimensione e base, al variare di h, dell'immagine e del nucleo di $ f:RR^2->RR^3 : f(x,y)=(x+hy,hx+y,(h+1)y) $
Per prima cosa ho determinato la matrice associata alla base canonica di $RR^2$:
$A=((1,h),(h,1),(0,h+1))$
Ho calcolato il determinante e ottengo che la matrice ammette $rk(A)=2$ per $h!=0$ e $h!=-1$
Quindi $dim Img f =2$ e Base ${(1,h,0),(h,1,h+1)}$ per $h!=0$ e $h!=-1$
mentre per $h=0$ e $h=-1 dim Img f =1$ e Base ${(1,h,0)}$
per il nucleo invece ho impostato il sistema e ottengo che:
$Ker f=(0,0)$ e il sistema da questa soluzione $AA h in RR$
Ora se applico il teorema del rango per $h!=0$ e $h!=-1$ viene tutto corretto;
Ma per $h=0$ e $h=-1$ accade che $dimRR^2=dim Img f+ dim Ker f= 1+0 !=2$
Dove o cosa sbaglio??
Grazie in anticipo

[scarpma]

Per \(h=0 \quad rgA=2\) e per \(h=-1 \quad dimKerA=1\). Rifai bene i conti.
Se non riesci a farlo, allora:

basta ridurre a scala la matrice $A$, che diventa:
$
((1,h),(0,1-h^2),(0,0))
$
dunque solo se $h=1$ (e non $h=0$) $rgA=1$. Inoltre, se $h=1$, allora si ha:
$
((1,1),(0,0),(0,0))
$
e dunque una base per $kerA$ è $\{(1,-1)\}$. Di conseguenza $dimKerA=1$.

[BruceChetta1]

okok il nucleo l'ho corretto. Non riesco a capire perchè per $h=0$ $rgA=2$. Io ho calcolato il $det ((h,1),(0,h+1))$ eliminando dalla matrice $A$ la prima riga e ottengo che $h^2+h=0$ e raccogliendo ottengo che il determinante è 0 per $ h=0 $ e $ h=-1$,

[scarpma]

"scarpma":Per \(h=0 \quad rgA=2\) e per \(h=-1 \quad dimKerA=1\). Rifai bene i conti.
Se non riesci a farlo, allora:

basta ridurre a scala la matrice $A$, che diventa:
$
((1,h),(0,1-h^2),(0,0))
$
dunque solo se $h=1$ (e non $h=0$) $rgA=1$. Inoltre, se $h=1$, allora si ha:
$
((1,1),(0,0),(0,0))
$
e dunque una base per $kerA$ è $\{(1,-1)\}$. Di conseguenza $dimKerA=1$.

Ti ho risposto qui e inoltre quello che hai fatto non è lecito. Per determinare il rango di una matrice non quadrata ti conviene ridurla a scala e vedere quante righe rimangono diverse dal vettore nullo.

[BruceChetta1]

ho capito, allora applicherò la riduzione. Grazie per il tuo aiuto!

[scarpma]

Di niente!