Dimensione di uno spazio vettoriale di vettori applicati
Vi pongo un problema, un groviglio, un dilemma che non riesco a sciogliere riguardo gli spazi vettoriali... 
In un esercizio mi viene chiesto di determinare Ker f ed una sua base ortonormale a partire da:
$ V_(0) $ ossia lo spazio vettoriale dei VETTORI APPLICATI in 0 dello spazio ordinario, una sua base ortonormale (i,j,k) (le freccine sopra non me le fa);
$ v_(1) $ = j+k [sempre con le frecce]
$ v_(2) $ = i - j [sempre con le frecce]
Ora, io so che per determinare Ker f, ed in particolare la sua dimensione abbiamo bisogno della dimensione dell'insieme/spazio di partenza e di quella di Im(f) [che è uguale al rango della matrice associata]
Ma la dimensione di $ V_(0) $ QUANTO E'???
Stessa domanda per l'Im(f), perchè come posso trovarla se non so la dimensione di $ V_(0) $ che mi permetterebbe di capire da quanti vettori è formata una sua base e di conseguenza poter tirar fuori la matrice associata!
Ecco, sarei molto grato a chi mi rispondesse con chiarezza per far finalmente dissolvere questo dannato dubbio!
In un esercizio mi viene chiesto di determinare Ker f ed una sua base ortonormale a partire da:
$ V_(0) $ ossia lo spazio vettoriale dei VETTORI APPLICATI in 0 dello spazio ordinario, una sua base ortonormale (i,j,k) (le freccine sopra non me le fa);
$ v_(1) $ = j+k [sempre con le frecce]
$ v_(2) $ = i - j [sempre con le frecce]
Ora, io so che per determinare Ker f, ed in particolare la sua dimensione abbiamo bisogno della dimensione dell'insieme/spazio di partenza e di quella di Im(f) [che è uguale al rango della matrice associata]
Ma la dimensione di $ V_(0) $ QUANTO E'???
Stessa domanda per l'Im(f), perchè come posso trovarla se non so la dimensione di $ V_(0) $ che mi permetterebbe di capire da quanti vettori è formata una sua base e di conseguenza poter tirar fuori la matrice associata!
Ecco, sarei molto grato a chi mi rispondesse con chiarezza per far finalmente dissolvere questo dannato dubbio!
Risposte
Intanto si parla di spazio ordinario, quindi si dice implicitamente la dimensione: 3. Poi la traccia stessa si riferisce ad "una sua base ortonormale $i, j, k$"... Uno spazio vettoriale avente una base composta da tre vettori che dimensione ha?
Eh, anche io ho pensato al fatto dei versori i j k però mi sembrava una risposta idiota xD
Non essendo per niente sicuro di quello che pensavo, e visto che ho un esame tra poco volevo togliere il dubbio.
Quindi per determinare la matrice associata eseguo la f su i, su j e su k e i vettori risultanti li metto come colonne, o no?
Non essendo per niente sicuro di quello che pensavo, e visto che ho un esame tra poco volevo togliere il dubbio.
Quindi per determinare la matrice associata eseguo la f su i, su j e su k e i vettori risultanti li metto come colonne, o no?
Up! 
Ok, sto provando a fare la f (i) ma mi sono bloccato all'ultimo passaggio, ecco ciò che ho fatto:
^ = prodotto vettoriale
° = prodotto scalare
f(i)= $ i $ ° $ (j+k) $^$ (i-j) $= $ i $ ° $ (-k+j-i) $
Ora, se faccio un prodotto scalare di due versori perpendicolari, questo verrà nullo!
E visto che i j k è una base ortonormale essi sono perpendicolari, quindi applicando la f ad i, a j, ed a k, avrò lo stesso risultato = 0
La matrice associata come la costruisco dunque?!
^ = prodotto vettoriale
° = prodotto scalare
f(i)= $ i $ ° $ (j+k) $^$ (i-j) $= $ i $ ° $ (-k+j-i) $
Ora, se faccio un prodotto scalare di due versori perpendicolari, questo verrà nullo!
E visto che i j k è una base ortonormale essi sono perpendicolari, quindi applicando la f ad i, a j, ed a k, avrò lo stesso risultato = 0
La matrice associata come la costruisco dunque?!
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