Dimensione di uno spazio descritto da equazioni e dubbio
Ciao, abbisogno di un aiutino
sostanzialmente di fronte a un esercizio tipico con varie dispense mi trovo di fronte a uno spazio descritto da equazioni omogenee e devo determinarne la base di quello spazio.
La cosa "strana" è che giungo a risolvere un equazione matriciale del tipo:
$((1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,1,0),(0,-1,1,0)) ((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=((0),(0),(0),(0))$
Alché mi son risposto:
3 equazioni l.indipendenti e 4 incognite= 1 variabile libera, sarà dimensione 1 e avrà quindi base 1 che è data dalla soluzione del sistema:
$x_1=-x2$
$x_3=x_2$
Chiamo $x_2=t$ e avrò $((-t),(t),(t),(0))=t((-1),(1),(1),(0))$, e quindi $((-1),(1),(1),(0))$ lamia base, poi vado a confrontare la soluzione e la base è:
$t((-1),(1),(1),(0))+x_4((0),(0),(0),(1))$ cioè: $((-1),(1),(1),(0)),((0),(0),(0),(1))$
E' come se avesse considerato x_4 parametro libero, però che strana cosa: ho uno spazio a dimensione 2 e rouché capelli non funziona, non capisco come far tornare capelli in questo caso specifico.
sostanzialmente di fronte a un esercizio tipico con varie dispense mi trovo di fronte a uno spazio descritto da equazioni omogenee e devo determinarne la base di quello spazio.
La cosa "strana" è che giungo a risolvere un equazione matriciale del tipo:
$((1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,1,0),(0,-1,1,0)) ((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=((0),(0),(0),(0))$
Alché mi son risposto:
3 equazioni l.indipendenti e 4 incognite= 1 variabile libera, sarà dimensione 1 e avrà quindi base 1 che è data dalla soluzione del sistema:
$x_1=-x2$
$x_3=x_2$
Chiamo $x_2=t$ e avrò $((-t),(t),(t),(0))=t((-1),(1),(1),(0))$, e quindi $((-1),(1),(1),(0))$ lamia base, poi vado a confrontare la soluzione e la base è:
$t((-1),(1),(1),(0))+x_4((0),(0),(0),(1))$ cioè: $((-1),(1),(1),(0)),((0),(0),(0),(1))$
E' come se avesse considerato x_4 parametro libero, però che strana cosa: ho uno spazio a dimensione 2 e rouché capelli non funziona, non capisco come far tornare capelli in questo caso specifico.
Risposte
Non mi tornano due cose: il fatto che $dim(Im(f))=2$ e $dim(K)=3$.
Probabilmente sono io che ho la mente offuscata in questo momento (sto preparando altri esami) ed inciampo nel mio stesso filo logico, per cui ti consiglio di aprire un nuovo topic riguardo a questo esercizio nella speranza tua e, a questo punto, mia (ormai sono curioso anche io
) che qualcun altro risponda.
P.S.: ammettiamo che $((1),(0),(-3)), ((-1),(1),(1)) in \text{ Dominio }$ sia la base di $f^(-1)(K)$, allora si dovrebbe avere, per opportuni $alpha, beta in RR$, che
per la linearità
i.e.
a me sembra assurdo che un solo vettore possa generare questi tre vettori $((-1),(1),(0),(0)), ((0),(0),(1),(0)),((0),(0),(0),(1))
in K$
Probabilmente sono io che ho la mente offuscata in questo momento (sto preparando altri esami) ed inciampo nel mio stesso filo logico, per cui ti consiglio di aprire un nuovo topic riguardo a questo esercizio nella speranza tua e, a questo punto, mia (ormai sono curioso anche io
) che qualcun altro risponda.P.S.: ammettiamo che $((1),(0),(-3)), ((-1),(1),(1)) in \text{ Dominio }$ sia la base di $f^(-1)(K)$, allora si dovrebbe avere, per opportuni $alpha, beta in RR$, che
$f(alpha ((1),(0),(-3))+ beta ((-1),(1),(1))) = k_i qquad, i=1,2,3$
per la linearità
$alphaf ((1),(0),(-3))+ betaf ((-1),(1),(1))= k_i qquad, i=1,2,3$
i.e.
$alpha ((1),(-1),(-2),(3))+ beta ((0),(0),(0),(0))= k_i qquad, i=1,2,3$
a me sembra assurdo che un solo vettore possa generare questi tre vettori $((-1),(1),(0),(0)), ((0),(0),(1),(0)),((0),(0),(0),(1))
in K$
viewtopic.php?f=37&t=182394
Fatto.
Continuo a pensare la tua risoluzione sia corretta comunque. Troppe evidenze lo confermano.
Fatto.
Continuo a pensare la tua risoluzione sia corretta comunque. Troppe evidenze lo confermano.
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