Dimensione di spazio vettoriale di polinomio

[chess71]

Qualcuno mi sa spiegare intuitivamente perchè la dimensione di uno spazio vettoriale di un polinomio di una sola variabile a coefficienti reali è dato da n+1, dove n grado del polinomio?

Inoltre, se sappiamo che il polinomio si annulla in zero, cosa possiamo dire sulla dimensione dello spazio?


grazie

[Quinzio]

Un generico polinomio di grado 2, ad esempio, contiene 3 parametri, $ax^2+bx+c$, quindi è isomorfo ad uno spazio a 3 dimensioni.
I polinomi che si annullano in 0 sono quelli con termine noto =0, quindi lo spazio ha una dimensione in meno, es:
$dim( P_3[x] ) = 2$ con $ P[0]=0 $

[Seneca1]

Per capire meglio credo tu debba mettere a fuoco la definizione di polinomio. Un polinomio è una successione definitivamente nulla di coefficienti $a_i \in K$, cioè qualcosa del tipo $(a_0 , a_1 , a_2 , ... , a_n , 0 , 0 , ... , 0 ...)$. Un polinomio di grado 2 può essere pensato come un oggetto di questo tipo: una terna di elementi di $K$ $(a_1 , a_2 , a_3 )$.

[Sk_Anonymous]

In linea con quanto detto sopra da Quinzio e Seneca, puoi vedere lo spazio dei polinomi, p.e. di secondo grado, come \(\displaystyle \langle 1, \ X, \ X^2 \rangle \) ( - leggasi: lo spazio generato da quella base lì, che è appunto la base canonica dello spazio dei polinomi di secondo grado). Induttivamente risulta chiara la motivazione della risposta alla tua domanda.

[chess71]

grazie a tutti