Dimensione di Spazi vettoriali su C e su R

[Viole05]

Esercizio:
Dati i seguenti sottospazi di $C_3[x]$

U = {$p(x)$ $in$ $C_3[x]$ : ($x^3$)$p$($x^-1$) $= - p(x)$},
W= < $1+ ix +$ $i$$x^2$ , $i -$ $i$$x^3$ , $ix$ $+ i$$x^2$ $+$ $x^3$ >.
Si chiede di
1) Determinare i C-sottospazi di $C_3[x]$ U∩W e U+V, dimensione e base. (fin qui no problem!)

2) Dopo aver notato che sono altresì R- sottospazi di $C_3[x]$ determinare gli R- sottospazi
U∩W e U+V, dimensione e base.

Svolgimento:
1)
$dim_C$ U = 2 ---> U = <$u_1$ , $u_2$> = < $1-$$x^3$ , $x-$$x^2$ >
$dim_C$ W = 2 --> W = < $w_1$ , $w_2$ > = < $1+ix+i$$x^2$ , $i-i$$x^3$ >
$dim_C$ U∩W = 1 ---> U∩W = < $1-$$x^3$ >
$dim_C$ U+W = 3 ---> U+W = < $1-$$x^3$ , $x-$$x^2$ , $1+ix+$$i$$x^2$ >

2)
Parto dal considerare che una base per $C_3[x]$ con sostegno su $R$ sia $B$$={$$1$$,x$$,x^2$$,x^3$$,i$$,ix$$,ix^2$$,ix^3$ $}$ e che quindi $dim_R$$C_3[x]$ $=8$
$dim_R$ U = 4 ---> U = <$u_1$ , $u_2$ , $i$$u_2$ , $i$$u_2$ >
poichè penso che essendo U definito mediante una regola, posso costruire i vettori della base.

Riguardo W però ho un dubbio ...
Se ragionassi come per U dovrei dire che W ha dimensione quattro, ma non mi sembra plausibile che uno spazio
definito mediante tre generatori possa avere dimensione quattro!
Oserei quindi dire che considerando combinazioni lineari a coefficienti in R, W abbia dimensione tre!
Direi infatti che $W=$ < $1+ ix +$ $i$$x^2$ , $i -$ $i$$x^3$ , $ix$ $+ i$$x^2$ $+$ $x^3$ >.
$dim_R$ U∩W = 2 ---> U∩W = < $ix$ $+ i$$x^2$ $+$ $x^3$ , $i -$ $i$$x^3$ >
$dim_R$ U+W = 5

Che ne pensate? Spero in spunti ... Grazie dell'attenzione!

[Seneca1]

Si fa abbastanza fatica a leggere i dati del problema. Se tu aggiustassi le formule [vedi qui] sarebbe una buona cosa.

[Viole05]

"Seneca":Si fa abbastanza fatica a leggere i dati del problema. Se tu aggiustassi le formule [vedi qui] sarebbe una buona cosa.

Fatto! Pardonne moi!

[Viole05]

Ma non mi calcola nessuoooo???