Dimensione di $RR[x_1,\cdots,x_n]_2$

[Sk_Anonymous]

Quanto vale la dimensione dell'insieme $RR[x_1,\cdots,x_n]_2$ come spazio vettoriale?
A me viene $\frac{n(n+1)}{2}$. Aspetto conferme o smentite

[miuemia]

con quel due intendi polinomi di grado 2 omogenei?

[gugo82]

"miuemia":con quel due intendi polinomi di grado 2 omogenei?

Stessa domanda che mi facevo io...

Se la risposta è affermativa, mi pare che la dimensione coincida con le possibili combinazioni di classe due su $n$ oggetti, quindi $((n),(2))=(n*(n-1))/2$.

[Sk_Anonymous]

Potresti darmi una dimostrazione del tuo risultato?
Io ho ragionato così: sia $f$ un polinomio omogeneo di secondo grado. Allora $f$ può essere rappresentato in notazione matriciale in questo modo: $X^T*A*X$, dove $X$ è il vettore delle indeterminate e $A$ una matrice quadrata simmetrica di ordine $n$. Allora la dimensione dell'insieme dei polinomi omogenei di secondo grado ha la stessa dimensione dell'insieme delle matricie simmetriche di ordine $n$, che è $(n*(n+1))/2$. Dove sbaglio?

[Sk_Anonymous]

Ok, allora dovremmo esserci.
Attendiamo la risposta di Gugo per chiudere la questione

[gugo82]

"matths87":Potresti darmi una dimostrazione del tuo risultato?
Io ho ragionato così: sia $f$ un polinomio omogeneo di secondo grado. Allora $f$ può essere rappresentato in notazione matriciale in questo modo: $X^T*A*X$, dove $X$ è il vettore delle indeterminate e $A$ una matrice quadrata simmetrica di ordine $n$. Allora la dimensione dell'insieme dei polinomi omogenei di secondo grado ha la stessa dimensione dell'insieme delle matricie simmetriche di ordine $n$, che è $(n*(n+1))/2$. Dove sbaglio?

Sisi, hai ragione tu matths87... come si può banalmente verificare per induzione, tra l'altro.

Avevo sbagliato a fare i conti.

[Sk_Anonymous]

Ok, grazie a tutti per l'aiuto.

[gugo82]

"matths87":Ok, grazie a tutti per l'aiuto.

Tra l'altro... così, tanto per dire: ho visualizzato i polinomi omogenei direttamente con una matrice quadrata triangolare superiore; lo spazio di tali matrici ha dimensione uguale al numero di elementi che non sono al di sotto della diagonale principale, da cui si trae facilmente $(n*(n+1))/2$.

Anche il ragionamento di Sergio mi piace molto... l'avrei fatto anch'io se mi fossi ricordato la formuletta per le disposizioni con ripetizioni (è la prima cosa a cui ho pensato)!

[gugo82]

"Sergio":[quote="Gugo82"]Anche il ragionamento di Sergio mi piace molto... l'avrei fatto anch'io se mi fossi ricordato la formuletta per le disposizioni con ripetizioni (è la prima cosa a cui ho pensato)!

Mi sa che quella bottiglia non te la mando.... Si tratta di combinazioni, non disposizioni, con ripetizione.
Le disposizioni con ripetizione sono semplicemente $n^k$ [/quote]
Cavoletti, oggi non ne ingarro una!