Dimensione dello span di un omomorfismo

[darienzo007]

Ciao Ragazzi

Io ho pensato di risolverla così:
Ho una matrice 2x3 $ ( ( a , b , c ),( d , e , f ) ) $ . Però ho che f(x) = f(x^) = e1 = (1,0) e quindi mi verrebbe da dire che la matrice diventa $ ( ( a , 1 , 1 ),( d , 0 , 0 ) ) $ e quindi avendo 2 variabili libere la dimensione è 2.
Però la risposta corretta è la b) Dim = 3
Grazie!!

[Noodles1]

"davidari":
... avendo 2 variabili libere la dimensione è 2.

Visto che:

$[[a,1,1],[d,0,0]]$

non è una combinazione lineare di due omomorfismi indipendenti appartenenti all'insieme I, l'affermazione di cui sopra non ha senso. In realtà, gli omomorfismi indipendenti appartenenti all'insieme I sono proprio 3:

$f_1=[[0,1,1],[0,0,0]]$

$f_2=[[1,1,1],[0,0,0]]$

$f_3=[[0,1,1],[1,0,0]]$

[j18eos]

Eh, certo: hai escluso un caso; qual è?

P.S.: potresti scrivere un titolo più dettagliato! Grazie.

[darienzo007]

No, non ho capito perchè la matrice ha quei possibili omomorfismi indipendent

[Noodles1]

Premesso che, necessariamente:

$[[0],[1],[0]] rarr [[1],[0]]$

$[[0],[0],[1]] rarr [[1],[0]]$

per il primo vettore della base le possibilità sono 3, per esempio:

$[[1],[0],[0]] rarr [[0],[0]]$

$[[1],[0],[0]] rarr [[1],[0]]$

$[[1],[0],[0]] rarr [[0],[1]]$

A questo punto, se proprio vuoi scrivere la matrice generica:

$c_1[[0,1,1],[0,0,0]]+c_2[[1,1,1],[0,0,0]]+c_3[[0,1,1],[1,0,0]]=[[c_2,c_1+c_2+c_3,c_1+c_2+c_3],[c_3,0,0]]$

Vero è che si poteva concludere in modo più intuitivo non scrivendo:

$[[a,1,1],[b,0,0]]$

come hai sostanzialmente scritto nel primo messaggio, piuttosto:

$[[a,c,c],[b,0,0]]=a[[1,0,0],[0,0,0]]+b[[0,0,0],[1,0,0]]+c[[0,1,1],[0,0,0]]$

[matos1]

Volevo aggiungermi alla discussione per porre una domanda dato che mi ha incuriosito.

Quando estraggo da un sistema omogeneo la base dello spazio delle soluzioni del sistema, ottengo qualcosa del tipo:

$[[a],]$, lo riscrivo come $[[a],]=a[[1],[0]]+b[[0],[1]]$, ad esempio e i due vettori "isolati" sono la mia base.

Tuttavia se avessi un vettore $[[a],[1]]$ potrei scriverlo come: $[[a],[1]]=a[[1],[0]]+1[[0],[1]]$ che evidentemente non è uno spazio vettoriale (d'altra parte non è soluzione di un sistema omogeneo), quindi parlare di dimensione due o di basi (1,0), (0,1) non ha alcun senso.

Ora mi chiedevo, perché invece per:

$[[a,1,1],[d,0,0]]=a[[1,0,0],[0,0,0]]+b[[0,0,0],[1,0,0]]+1[[0,1,1],[0,0,0]]$

che mi sembra molto simile/omologo al caso sopra ho che i tre "vettori matrice "

$[[1,0,0],[0,0,0]], [[0,0,0],[1,0,0]], [[0,1,1],[0,0,0]]$ definiscono uno spazio vettoriale? In cosa risiede la differenza?

[Noodles1]

"matos":
$[[a,1,1],[d,0,0]]=a[[1,0,0],[0,0,0]]+b[[0,0,0],[1,0,0]]+1[[0,1,1],[0,0,0]]$

Veramente avevo aggiunto:

$[[a,c,c],[b,0,0]]=a[[1,0,0],[0,0,0]]+b[[0,0,0],[1,0,0]]+c[[0,1,1],[0,0,0]]$

Forse non te ne eri accorto.

[matos1]

Sì, certo, ma l'ho tolto per farti un dispetto .
No, a parte gli scherzi... l'avevo visto ma la domanda voleva proprio essere lì.

Io ho la matrice con a,b liberi e 1 "fisso". Quindi avevo scritto

$[[a,1,1],[d,0,0]]=a[[1,0,0],[0,0,0]]+b[[0,0,0],[1,0,0]]+1[[0,1,1],[0,0,0]]$ (1) appositamente,

proprio come farei per:

$[[a],[1]]$ dove essendo un parametro solo a, raccolgo con un 1 lo (0,1) : $[[a],[1]]=a[[1],[0]]+1[[0],[1]]$ (2)

Ora, come detto (2) non è spazio vettoriale e ci vedevo qualcosa di simile con (1), invece perché in (1) la terza matrice ha un parametro libero davanti? Non ho capito. Non riesco cioè a comprendere dove soggiaccia la differenza tra il caso (2) e (1), perché entrambi mi sembra abbiano ultimo vettore con paramento davanti non libero.

PS: forse ho capito male l'ultimo suggerimento che mi hai dato e quindi rettifico: "convieni anche tu che scritta così $[[a,1,1],[d,0,0]]$ in effetti non ho uno spazio vettoriale?" (prima domanda-che volevo porti-: questo è corretto almeno ?)
Mentre tu vuoi dirmi che dovrei scrivere: $[[a,c,c],[d,0,0]]$ così da avere a tutti gli effetti uno spazio vettoriale di dimensione 3?

Se è questo che vuoi dirmi (spoiler)

(seconda domanda) tuttavia non capisco perché, in quanto la matrice rappresentativa si ottiene calcolando f(v) e esprimendola in componenti della base di arrivo ($B_A$), con v vettori della base di partenza. E io so che: $[f(x)]_(B_A)=[f(x^2)]_(B_A)=(1,0)$ e non $(c,0)$. Per questo per colonne porrei (1,0) e non (c,0)

[j18eos]

Non vorrei alzare la voce, ma ho chiesto a davidari di rendere il titolo del thread più chiaro;

e chiedo cortesemente a Noodles di aiutare l'utenza con metodi più maiuetici!

Grazie.

[matos1]

Qualcuno saprebbe invece chiarire le mie 2 stupide domande sopra?
Grazie mille

[Noodles1]

"matos":
... convieni anche tu che scritta così:

$[[a,1,1],[d,0,0]]$

in effetti non ho uno spazio vettoriale? Mentre tu vuoi dirmi che dovrei scrivere:

$[[a,c,c],[d,0,0]]$

così da avere a tutti gli effetti uno spazio vettoriale di dimensione 3?

Almeno per quanto riguarda la prima domanda, mi hai tolto le parole di bocca. Insomma, il concetto è quello.

[matos1]

Grazie mille

1) come prima cosa mi importava proprio capire se fosse corretto in primis che ${[[a,1,1],[d,0,0]]|a,b in RR}$ non era uno spazio vettoriale. E mi sembra di capire di sì, quindi se così questo primo dubbio è risolto.
Ponevo solo un paragone con ${[[a],[1]]|a in RR}$ che non era spazio vettoriale anche lui (essendo ad esempio lo spazio delle soluzione di un sistema NON lineare). Insomma stavo solo facendo una similitudine tra due casi che mi sembravano "omologhi" nulla più.




2) Siccome forse per la seconda parte (intuisco che) son stato poco chiaro, provo a riesprimere meglio il mio dubbio e mi scuso se sono stato poco capace di spiegarmi.

Sappiamo dalla teoria che la matrice rappresentativa associata al mio omomorfismo si ottiene data una base ${v1,v2,v3}$ calcolando $f(v)$ (per ogni v della base) e esprimendo l'immagine di tale vettore nella base scelta per lo spazio di "arrivo": ${v1,v2}$.
Nel nostro specifico caso i vettori di base sono: ${1,x,x^2}$ e in arrivo scelgo la canonica per semplciità.
Quindi: $[f(x)]_(C)=[f(x^2)]_(C)=(1,0)$ e non $(c,0)$. ove con $[w]_C$ indico le componenti del vettore w in $R^2$ rispetto alla base C canonica.
insomma x e x^2 hanno per immagini (1,0) il vettore senza parametri liberi.

Nella matrice mi verrebbe quindi da porre: $[[x,1,1],[x,0,0]]$ e non $[[x,c,c],[x,0,0]]$ con c parametro libero.
Ho indicato con x la parte che non ci interessa, cioè ancora da studiare, ma mi interessava capire le ultime due colonne non la prima, quindi per ora lasciamola ignota. Non capisco perché ci metti c e non 1.

[matos1]

Ah cavolo, ma aspetta, forse ho capito solo ora. (Integro il mio ultimo messaggio senza ancora risposta, appena qui sopra)


Io ho:

per le ultime due colonne:
$f([[0],[1],[0]]) rarr [[1],[0]]$

$f([[0],[0],[1]]) rarr [[1],[0]]$

mentre in prima colonna:
per il primo vettore della base le possibilità sono 3, per esempio:
$f([[1],[0],[0]]) rarr [[0],[0]]$

$f([[1],[0],[0]]) rarr [[1],[0]]$

$f([[1],[0],[0]]) rarr [[0],[1]]$.


Dunque lo span è di tre possibili matrici (che sono vettori tra loro lineamente indipendenti):

${[[0,1,1],[0,0,0]]; [[1,1,1],[0,0,0]]; [[0,1,1],[1,0,0]]}$, che sono base, quindi dimensione 3.

con relativo span: ${[[b,a+b+c,a+b+c],[c,0,0]]=a[[0,1,1],[0,0,0]]+b[[1,1,1],[0,0,0]]+c[[0,1,1],[1,0,0]]|a,b,c in RR}$


Ovviamente, la base non è unica, e una delle basi può anche essere:

${[[1,0,0],[0,0,0]]; [[0,0,0],[1,0,0]]; [[0,1,1],[0,0,0]]} $

con relativo span: ${a[[1,0,0],[0,0,0]]+b[[0,0,0],[1,0,0]]+c[[0,1,1],[0,0,0]]|a,b,c in RR}$


Era questo il motivo?

[j18eos]

Se non ho capìto male il dubbio, direi ch'è tutto corretto!

[Noodles1]

"matos":
Nella matrice mi verrebbe quindi da porre:

$[[x,1,1],[x,0,0]]$

e non:

$[[x,c,c],[x,0,0]]$

con $c$ parametro libero.

Il fatto è che, trattandosi dello span, si deve contemplare non solo l'omorfismo:

$[[x,1,1],[x,0,0]]$

ma anche l'omomorfismo "proporzionale":

$c*[[x,1,1],[x,0,0]]$

"matos":
Era questo il motivo?

Volendo procedere nel secondo modo, certamente.