Dimensione del nucleo
Sia $f:RR^4->RR^3$ l'applicazione lineare tale che:
$((1),(1),(0),(0))->((1),(-1),(0))$, $((0),(1),(1),(1))->((0),(1),(-1))$, $((0),(0),(1),(1))->((1),(1),(1))$, $((1),(0),(0),(-1))->((0),(1),(0))$
Mi potete confermare che la dimensione del nucleo sia 0? Grazie anticipatamente!
$((1),(1),(0),(0))->((1),(-1),(0))$, $((0),(1),(1),(1))->((0),(1),(-1))$, $((0),(0),(1),(1))->((1),(1),(1))$, $((1),(0),(0),(-1))->((0),(1),(0))$
Mi potete confermare che la dimensione del nucleo sia 0? Grazie anticipatamente!
Risposte
Ciao, io lo avrei fatto in questo modo. Per prima cosa trovo la matrice associata rispetto alle basi canoniche. Chiamando questa matrice $$A = \left[\begin{array}{c|c|c|c}v_1 & v_2 & v_3 & v_4\end{array}\right]$$ dove $v_i$ indica l'i-esima colonna di $A$, possiamo scrivere il seguente sistema $$\begin{cases}
v_1+v_2 = \begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix} \\
v_2+v_3+v_4 = \begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix} \\
v_3+v_4 = \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} \\
v_1-v_4 = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}
\end{cases}$$ la cui soluzione è la seguente: $$v_1 = \begin{bmatrix}2\\-1\\2\end{bmatrix} \qquad v_2 = \begin{bmatrix}-1\\0\\-2\end{bmatrix} \qquad v_3 = \begin{bmatrix}-1\\3\\-1\end{bmatrix} \qquad v_4 = \begin{bmatrix}2\\-2\\2\end{bmatrix}$$ A questo punto la matrice è $$A = \begin{bmatrix}
2&-1&-1&2\\-1&0&3&-2\\2&-2&-1&2
\end{bmatrix}$$ il cui rango è $3$. Di conseguenza la dimensione del suo nucleo è $4-3=1$. Per la precisione risulta $$\text{Ker} A = \text{Im}\begin{bmatrix}-4\\0\\2\\5\end{bmatrix}.$$
v_1+v_2 = \begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix} \\
v_2+v_3+v_4 = \begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix} \\
v_3+v_4 = \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} \\
v_1-v_4 = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}
\end{cases}$$ la cui soluzione è la seguente: $$v_1 = \begin{bmatrix}2\\-1\\2\end{bmatrix} \qquad v_2 = \begin{bmatrix}-1\\0\\-2\end{bmatrix} \qquad v_3 = \begin{bmatrix}-1\\3\\-1\end{bmatrix} \qquad v_4 = \begin{bmatrix}2\\-2\\2\end{bmatrix}$$ A questo punto la matrice è $$A = \begin{bmatrix}
2&-1&-1&2\\-1&0&3&-2\\2&-2&-1&2
\end{bmatrix}$$ il cui rango è $3$. Di conseguenza la dimensione del suo nucleo è $4-3=1$. Per la precisione risulta $$\text{Ker} A = \text{Im}\begin{bmatrix}-4\\0\\2\\5\end{bmatrix}.$$
Boh, sicuramente sarà giusto ma non mi è chiaro perchè hai fatto quelle somme di vettori.
Possiamo interpretare la cosa in due modi. Consideriamo la condizione data dal testo $$f\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}$$ e sia $A$ la matrice che stiamo cercando. Allora dovrà essere $$A\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}$$ Ma fare il prodotto a sinistra dell'uguale significa sommare le prime due colonne di $A$ (ragionaci e vedi che è proprio così), quindi possiamo scrivere $$v_1+v_2 = \begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}$$ e procedere con le altre condizioni.
Altro modo di vedere la cosa: sfruttando la linearità dell'applicazione possiamo dire che $$f\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\end{bmatrix} = f\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}+f\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix} = f\left(e_1\right)+f\left(e_2\right) = v_1 + v_2$$ e procedere.
PS. Ti ricordo che avevo posto $$A = \left[\begin{array}{c|c|c|c}v_1 & v_2 & v_3 & v_4\end{array}\right]$$ dove $v_i$ è l'i-esima colonna di $A$. Inoltre vale $$v_i = f\left(e_i\right)$$ cioè l'i-esima colonna della matrice è l'immagine dell'i-esimo vettore della base canonica.
Altro modo di vedere la cosa: sfruttando la linearità dell'applicazione possiamo dire che $$f\begin{bmatrix}1\\1\\0\\0\end{bmatrix} = f\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}+f\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix} = f\left(e_1\right)+f\left(e_2\right) = v_1 + v_2$$ e procedere.
PS. Ti ricordo che avevo posto $$A = \left[\begin{array}{c|c|c|c}v_1 & v_2 & v_3 & v_4\end{array}\right]$$ dove $v_i$ è l'i-esima colonna di $A$. Inoltre vale $$v_i = f\left(e_i\right)$$ cioè l'i-esima colonna della matrice è l'immagine dell'i-esimo vettore della base canonica.
Ok chiarissimo! Un'ultima cosa: per calcolare la dimensione del nucleo si può sfruttare da subito il teorema della dimensione? Ovvero osservo che la dimensione dello spazio vettoriale di partenza è 4. Poi calcolo il rango della matrice
$((1,0,1,0),(-1,1,1,1),(0,-1,1,0))$ Osservo che il rango è 3 dunque la dimensione dell'immagine di $f$ è 3. Sfruttando la formula mi trovo che la dimensione del nucleo è 1. Secondo te è corretto?
$((1,0,1,0),(-1,1,1,1),(0,-1,1,0))$ Osservo che il rango è 3 dunque la dimensione dell'immagine di $f$ è 3. Sfruttando la formula mi trovo che la dimensione del nucleo è 1. Secondo te è corretto?
Non ho fatto i calcoli, comunque il principio è corretto.
Grazie gentilissimo!
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