Dimensione del campo C
Salve a tutti!
Stavo svolgendo questo esercizio di algebra lineare:
Si consideri $CC^2$ come spazio vettoriale su $RR$. Si amplii il sistema costituito dai vettori $(1, i)$ e $(i, -1)$ ad una base $(v_1, v_2, v_3, v_4) $ di $CC$.
Mi chiedevo come mai la base $(v_1,v_2,v_3,v_4)$ abbia dimensione 4 visto che, da quanto mi pare di aver capito, il campo $CC$ ha una dimensione complessa e due reali. Mi pare a questo punto di non aver ben compreso la doppia natura dei numeri complessi. Potete darmi una mano per favore? Grazie
Stavo svolgendo questo esercizio di algebra lineare:
Si consideri $CC^2$ come spazio vettoriale su $RR$. Si amplii il sistema costituito dai vettori $(1, i)$ e $(i, -1)$ ad una base $(v_1, v_2, v_3, v_4) $ di $CC$.
Mi chiedevo come mai la base $(v_1,v_2,v_3,v_4)$ abbia dimensione 4 visto che, da quanto mi pare di aver capito, il campo $CC$ ha una dimensione complessa e due reali. Mi pare a questo punto di non aver ben compreso la doppia natura dei numeri complessi. Potete darmi una mano per favore? Grazie
Risposte
Ma il testo è tutto lì? Quale "tale sistema"?
Scusate la svista. Ho corretto la traccia.
Potresti trascriverlo correttamente? Sei sicuro che voglia una base di $CC$?
Riporto il testo integrale dell'esercizio per evitare di generare confusione. La traccia completa è la seguente:
Si consideri $CC^2$ come spazio vettoriale su $RR$:
1) Si provi che $(1, i)$ e $(i, -1)$ sono linearmente indipendenti;
2) si amplii tale sistema ad una base $(v_1, v_2, v_3, v_4)$ di $CC$;
3) si calcolino $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 in RR$ tali che $(2 + 3i, 4-7i) = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 + \alpha_4 v_4$
Dunque, direi proprio di si: vuole una base di $CC$.
Si consideri $CC^2$ come spazio vettoriale su $RR$:
1) Si provi che $(1, i)$ e $(i, -1)$ sono linearmente indipendenti;
2) si amplii tale sistema ad una base $(v_1, v_2, v_3, v_4)$ di $CC$;
3) si calcolino $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 in RR$ tali che $(2 + 3i, 4-7i) = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 + \alpha_4 v_4$
Dunque, direi proprio di si: vuole una base di $CC$.
I punti 2 e 3 mi sembrano abbastanza incomprensibili.
In effetti il mio professore è abbastanza incomprensibile.
Mah, è tutto chiaro se ci si aggiunge un quadrato. La base da cercare è di $CC^2$, che è di dimensione $4$ su $RR$.
Dici che c'è un errore nella traccia?
Per questo chiedevo. Probabilmente sarà un errore di trascrizione.
@daniele91: Supponendo che il secondo punto dell'esercizio sia:
sapresti procedere?
@daniele91: Supponendo che il secondo punto dell'esercizio sia:
2) si amplii tale sistema ad una base $(v_1, v_2, v_3, v_4)$ di $CC^2$;
sapresti procedere?
"daniele91":
Si consideri $CC^2$ come spazio vettoriale su $RR$
Ciao, mi pare che l'inghippo stia qua. Finchè gli $alpha_k$ devono essere reali, vettori come__ $u_1=(1,0)$__ e __$u_2=(i,0)$ sono linearmente indipendenti, per nessun __$alpha \in RR$ __risulta __$u_1=alpha u_2$ __o viceversa.
Mettici anche__ $u_3=(0,1), u_4=(0,i)$ __ed hai una base. Può funzionare?
In caso affermativo, quella del tuo esercizio si può completare (se non vedo male ma ho fatto un po' affrettatamente i conti per cui non sono sicurissimo) per esempio con __$v_3=(0,1), v_4=(0,i)$.
EDIT: chiedo scusa, quanto sopra nasce da una lettura (lo confesso) affrettata di quanto scritto in precedenza in questo 3D, solo ora realizzo che il problema era su $CC^2$ in luogo di $CC$. Chiedo venia.
Ma in $CC^2$ non dovrebbero esserci vettori di dimensione 4? Non mi spiego altrimenti come i vettori $(1,i)$ e $(i, -1)$ abbiano dimensione 2. Finora ho affrontato esercizi in cui la dimensione del campo corrispondeva a quella dei vettori dati...
$CC^2$ è $CC \times CC$. Chiaramente si può dotare di struttura di spazio vettoriale sul campo, p.es., $RR$. Quindi ha perfettamente senso chiedersi se $(1,i)$ e $(i, -1)$ sono vettori (vettori nel senso di elementi del $RR$-spazio vettoriale $CC^2$) linearmente indipendenti.
$a(1,i) + b(i, -1) = (0,0)$ (*)
$(a + i b,i a - b) = (0,0)$
$a + i b = 0$
$i a - b = 0$
Moltiplicando per $- i$ la seconda si ottiene la prima.
$a + i b = 0$
Dal fatto che $a, b \in RR$ (perchè è $RR$ il campo associato allo spazio) segue che $a = 0$ e $b = 0$, il che vuol dire che i due vettori considerati all'inizio sono linearmente indipendenti. Ti faccio notare però una cosa: se il campo fosse stato $CC$, allora $a + i b = 0$ è verificata non solo per $a = b = 0$. I coefficienti $a,b \in CC$ che rendono nulla la combinazione lineare (*) sono infiniti e quindi i due vettori sono linearmente dipendenti. Questo dovrebbe darti qualche idea in più per procedere con i prossimi punti...
$a(1,i) + b(i, -1) = (0,0)$ (*)
$(a + i b,i a - b) = (0,0)$
$a + i b = 0$
$i a - b = 0$
Moltiplicando per $- i$ la seconda si ottiene la prima.
$a + i b = 0$
Dal fatto che $a, b \in RR$ (perchè è $RR$ il campo associato allo spazio) segue che $a = 0$ e $b = 0$, il che vuol dire che i due vettori considerati all'inizio sono linearmente indipendenti. Ti faccio notare però una cosa: se il campo fosse stato $CC$, allora $a + i b = 0$ è verificata non solo per $a = b = 0$. I coefficienti $a,b \in CC$ che rendono nulla la combinazione lineare (*) sono infiniti e quindi i due vettori sono linearmente dipendenti. Questo dovrebbe darti qualche idea in più per procedere con i prossimi punti...
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