Dimensione commutatore
Salve non riesco a risolvere quest'esercizio:
Sia F endomorfismo di V (dimV=n) tc il polinomio minimo di F coincida con quello caratteristico. Si determini la dimensione dello spazio degli endomorfismi che commutano con F.
Sfruttando la valutazione in F ho detto che tutti gli endomorfismi che appartengono a K[F] (quelli polinomiali) commutano con f e di conseguenza lo spazio commutatore ha dimensione maggiore di K[F}, che ha dimensione uguale al grado del polinomio minimo e quindi n (pol minimo=caratteristico).
A questo punto non riesco ad andare avanti: come posso dimostrare che non esiste un endomorfismo che commuta con F e che non appartenga a K[F]?
Sia F endomorfismo di V (dimV=n) tc il polinomio minimo di F coincida con quello caratteristico. Si determini la dimensione dello spazio degli endomorfismi che commutano con F.
Sfruttando la valutazione in F ho detto che tutti gli endomorfismi che appartengono a K[F] (quelli polinomiali) commutano con f e di conseguenza lo spazio commutatore ha dimensione maggiore di K[F}, che ha dimensione uguale al grado del polinomio minimo e quindi n (pol minimo=caratteristico).
A questo punto non riesco ad andare avanti: come posso dimostrare che non esiste un endomorfismo che commuta con F e che non appartenga a K[F]?
Risposte
CIa0, benvenut*;
se potessi chiarire un po' le notazioni, le ipotesi sul campo \(\displaystyle\mathbb{K}\), ed eventualmente utilizzare il codice \(\displaystyle \LaTeX\) sarebbe più facile aiutarti.
se potessi chiarire un po' le notazioni, le ipotesi sul campo \(\displaystyle\mathbb{K}\), ed eventualmente utilizzare il codice \(\displaystyle \LaTeX\) sarebbe più facile aiutarti.
Si certo,
Con il termine valutazione in F intendo l'omomorfismo:
v: K[x]-->End(V)
definita come v(a+bX+cX^2...)=aID+bF+cF^2...
Con K[F] intendo l'immagine della valutazione in v.
Purtroppo sull'esercizio non c'è scritto nulla a proposito del campo ma credo sia dato per scontato sia C (complessi).
Con il termine valutazione in F intendo l'omomorfismo:
v: K[x]-->End(V)
definita come v(a+bX+cX^2...)=aID+bF+cF^2...
Con K[F] intendo l'immagine della valutazione in v.
Purtroppo sull'esercizio non c'è scritto nulla a proposito del campo ma credo sia dato per scontato sia C (complessi).
A guardar bene: un tale endomorfismo è diagonalizzabile; perché?
"j18eos":Che mi dici di $((0,1),(0,0))$?
A guardar bene: un tale endomorfismo è diagonalizzabile; perché?
@lalalala: so che forse non è il metodo più teorico (che risultati conosci?) ma ragionando con la forma canonica di Jordan escono conti fattibili.
"j18eos":
A guardar bene: un tale endomorfismo è diagonalizzabile; perché?
Non ho ben capito la domanda
Nel senso che la valutazione sia diagonalizzabile non mi interessa io la sfrutto solo per il fatto che è un omomorfismo di anelli e poiché il campo dei polinomi commuta allora anche l'immagine della valutazione( tutti gli endomorfismi polinomiali) commutano tra loro
"Martino":Che mi dici di $((0,1),(0,0))$?
[quote="j18eos"]A guardar bene: un tale endomorfismo è diagonalizzabile; perché?
@lalalala: so che forse non è il metodo più teorico (che risultati conosci?) ma ragionando con la forma canonica di Jordan escono conti fattibili.[/quote]
A dir la verità ieri mi è venuta una dimostrazione di cui non sono super certa:
Se siamo sul campo complesso e polinomio minimo e caratteristico coincidono per il lemma del vettore ciclico esiste una base del tipo \(\displaystyle \mathit{ {v_{1}, f(v_{1})=v_{2}, ^{2}f(v_{1})=v_{3}.... f^{n-1}(v_{1})=v_{n}}} \)
Il che vuol dire che se gf=fg
Allora:
gf(v)=fg(v) e quindi \(\displaystyle \mathit{g(f(v_{1}))=g(v_{2})=f(g(v_{1}))} \)
E analogamente
\(\displaystyle \mathit{g(v_{j})=f^{j}(g(v_{j})} \) per ogni j da 2 a n
In pratica quindi quello che tento di dimostrare è che se un endomorfismo commuta con f allora solo la scelta di g(v) è arbitraria perché la scelta delle immagini degli altri elementi della base è obbligata. E quindi la dimensione dello spazio degli endomorfismi che commuta è n ( g(v) lo posso scegliere in n modi indipedenti essendo dimV=n il resto sono combinazoni lineari)…
Va bene?
@Martino Riprendo il tuo esempio: il polinomio caratteristico è \(\displaystyle x^2\), mentre il polinomio minimo è \(\displaystyle x\)... oppure ricordo male?
@lalala Non conosco quel teorema, mi informerò quanto prima.
@lalala Non conosco quel teorema, mi informerò quanto prima.
Per facilitarci nel seguirti puoi dirci che testo (o che dispense) stai seguendo?
Quello che hai detto va bene ma resta da mostrare che $fg=gf$ è equivalente al fatto che [tex]g(v_j)=f^j(g(v_j))[/tex] per ogni $j$.
@j18eos: il polinomio minimo è $x^2$ (infatti $A ne 0$ ma $A^2=0$). Il polinomio minimo $P$ di $A$ è il polinomio monico di grado minimo con la proprietà che $P(A)=0$. Dire che il polinomio minimo di $A$ è $x$ è come dire che $A=0$
Quello che hai detto va bene ma resta da mostrare che $fg=gf$ è equivalente al fatto che [tex]g(v_j)=f^j(g(v_j))[/tex] per ogni $j$.
@j18eos: il polinomio minimo è $x^2$ (infatti $A ne 0$ ma $A^2=0$). Il polinomio minimo $P$ di $A$ è il polinomio monico di grado minimo con la proprietà che $P(A)=0$. Dire che il polinomio minimo di $A$ è $x$ è come dire che $A=0$
Studio sugli appunti presi a lezione ma le dispense di riferimento sono queste http://www.math.unipd.it/~maurizio/m2m/AGLQ910pp.pdf
Si lo davo per scontata si dimostra facilmente per induzione
Si lo davo per scontata si dimostra facilmente per induzione
Anch'io ho fatto il corso con Cailotto nel 2004.
Equivalente. Mi pare che tu abbia dimostrato solo un'implicazione.
nel 2004.Equivalente. Mi pare che tu abbia dimostrato solo un'implicazione.
No Cailotto ce l'avrò il prox anno ma le dispense sono le sue
Si ma non capisco la necessità di dimostrare che è equivalente cioè io ho un endomorfismo che commuta, dal fatto che commuta dimostro per induzione che le scelte delle immagini esclusa quella di v è obbligata, quindi lo spazio commutatore è contenuto in uno di dim n. Ma ho detto prima che i polinomiali (spazio di dim n) commutano.Quindi lo spazio commutatore deve essere contenuto in uno di dim minore o uguale a n e contenere uno di dim maggiore o uguale a n: ha dim n.
O sbaglio qualcosa?
Si ma non capisco la necessità di dimostrare che è equivalente cioè io ho un endomorfismo che commuta, dal fatto che commuta dimostro per induzione che le scelte delle immagini esclusa quella di v è obbligata, quindi lo spazio commutatore è contenuto in uno di dim n. Ma ho detto prima che i polinomiali (spazio di dim n) commutano.Quindi lo spazio commutatore deve essere contenuto in uno di dim minore o uguale a n e contenere uno di dim maggiore o uguale a n: ha dim n.
O sbaglio qualcosa?
Giusto
[ot]Ok, grazie per avermi rinfrescato la memoria.[/ot]
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