Dim $VnnW$
salve.Mi servirebbe una delucidazione su questo esercizio.
Devo calcolare la base e dimensione di V$nn$W
poichè so che V=(5,1,3,5),(1,2,3,4) e W=x-2y+3z=t-y=0 per calcolare l'intersezione mi serve l'eq di V che trovo così:
$((5,1,3,5),(1,2,3,4),(x,y,z,t))$
ma il determinante di una 4x3 è sempre $<=$ 3 quindi io ad esempio ho lasciato perdere l'ultima colonna ed ho calcolato il determinante trovandomi l'equazione di V.inoltre la dim di V è 2?
volevo sapere se era giusto. grazie!
Devo calcolare la base e dimensione di V$nn$W
poichè so che V=(5,1,3,5),(1,2,3,4) e W=x-2y+3z=t-y=0 per calcolare l'intersezione mi serve l'eq di V che trovo così:
$((5,1,3,5),(1,2,3,4),(x,y,z,t))$
ma il determinante di una 4x3 è sempre $<=$ 3 quindi io ad esempio ho lasciato perdere l'ultima colonna ed ho calcolato il determinante trovandomi l'equazione di V.inoltre la dim di V è 2?
volevo sapere se era giusto. grazie!
Risposte
Scusa, che intendi per "lasciare perdere l'ultima colonna"? La dimensione di V è 2, e si vede semplicemente perché i vettori sono linearmente indipendenti.
Non è detto che ti serva per forza l'equazione cartesiane di V: potresti anche sostituire le parametriche di V nelle cartesiane di W:
$W:{((5s+t)-2(s+2t)+3(3s+3t) = 0),(-(s+2t)+(5s+4t)=0))$
Il sistema è immediatamente soddisfatto s = t = 0 quindi i due sistemi sono linearmente indipendenti.
Come controprova puoi provare a trasformare W in equazioni parametriche. Ad esempio
$W = span((2),(1),(0),(1)),((3),(0),(1),(0))$
Se unisci le basi di V e W in un'unica matrice, essa ha dimensione 4 e per Grassmann l'intersezione è vuota (per la precisione è il vettore nullo, stiamo parlando di sottospazi vettoriali).
Non è detto che ti serva per forza l'equazione cartesiane di V: potresti anche sostituire le parametriche di V nelle cartesiane di W:
$W:{((5s+t)-2(s+2t)+3(3s+3t) = 0),(-(s+2t)+(5s+4t)=0))$
Il sistema è immediatamente soddisfatto s = t = 0 quindi i due sistemi sono linearmente indipendenti.
Come controprova puoi provare a trasformare W in equazioni parametriche. Ad esempio
$W = span((2),(1),(0),(1)),((3),(0),(1),(0))$
Se unisci le basi di V e W in un'unica matrice, essa ha dimensione 4 e per Grassmann l'intersezione è vuota (per la precisione è il vettore nullo, stiamo parlando di sottospazi vettoriali).
ok, non mi era chiaro il metodo visto che comunque per quanto riguarda matrici 3x3 mi limito a fare il determinante senza avere problemi.
per quanto riguarda la dimensione l'ho scritta apunto perchè avevo un dubbio sui vettori lin. indip.
grazie.
per quanto riguarda la dimensione l'ho scritta apunto perchè avevo un dubbio sui vettori lin. indip.
grazie.
$V=Span{(5,1,3,5),(1,2,3,4)}$ e $W: x-2y+3z=t-y=0$ .
Per ottenere le equazioni cartesiane di $V$ puoi seguire l'eliminazione di Gauss
a partire dalla matrice seguente:
$((5,1,x),(1,2,y),(3,3,z),(5,4,t))$ .
Imponendo che il sistema sia compatibile ottieni le due equazioni che ti servono.
Per determinare infine l'intrersezione con $W$ risolvi il sistema con le 3 equazioni
cartesiane (2 per $V$ e una per $W$).
Per ottenere le equazioni cartesiane di $V$ puoi seguire l'eliminazione di Gauss
a partire dalla matrice seguente:
$((5,1,x),(1,2,y),(3,3,z),(5,4,t))$ .
Imponendo che il sistema sia compatibile ottieni le due equazioni che ti servono.
Per determinare infine l'intrersezione con $W$ risolvi il sistema con le 3 equazioni
cartesiane (2 per $V$ e una per $W$).
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