Dim insieme localmente chiuso

[Tes2]

ho ancora dei problemi con delle dimostrazioni...
sia X spazio topologico e Z un suo sottoinsieme
devo dimostrare che sono equivalenti:
1. Z è localmente chiuso
2. Z è aperto nella chiusura di Z ( con topologia di sottospazio)
3. Z è intersezione di un chiuso e di un aperto di X.

allora... dire che Z è localmente chiuso vuol dire che per ogni z appartenente a Z esiste un aperto U contenuto in X tale che z apaprtiene ad U e lìintersezione tra Z e U è chiusa in U. giusto?

il problema è : cosa vuol dire la seconda proposizione?

[_prime_number]

La definizione è giusta.
Il secondo punto significa: chiamiamo $(X,\tau)$ il tuo spazio topologico. Chiudi $Z$ rispetto alla topologia $\tau$ e ottieni così $\overline{Z}$. Devi dimostrare che $Z$ è aperto dell'insieme $\overline{Z}$, quando a quest'ultimo fai ereditare la topologia dell'inclusione.
Dato Y sottoinsieme di X, la topologia dell'inclusione è la topologia meno fine che rende la funzione inclusione $i: Y\to X$ continua.

Paola

[j18eos]

Non saprei quanto possa aiutare questa mia considerazione, forse è errata ma comunque la trovo interessante.

Sia [tex]$(S;\mathcal{T})$[/tex] uno spazio topologico e [tex]$\mathcal{P}$[/tex] una proprietà topologica, esso si definisce localmente [tex]$\mathcal{P}$[/tex] se e solo se ogni suo punto [tex]$x$[/tex] ammette un sistema fondamentale di intorni che soddisfi [tex]$\mathcal{P}$[/tex].
Nel caso in esame: [tex]$\mathrm{localmente}\,\mathcal{P}\equiv\mathrm{localmente\,chiuso}$[/tex]!