[DIM] Due spazi possono essere in somma diretta sse la scrittura dei loro vettori e' unica
Ho immense difficolta' a digerire questo fatto degli spazi in somma diretta.
Qualche preliminare, prima della dimostrazione che -forse- ho portato faticosamente a termine.
Sia \(V\) un \(\mathbb{K}\)-spazio vettoriale. Siano \(U,\,Z\) due suoi sottospazi. Dico che \(U+Z\) e' diretta quando \(U \cap Z = \{\underline{0}_V\}\).
E' piuttosto banale dimostrare che se la somma e' diretta (nel senso chiarito sopra) allora esiste un'unica scrittura di tutti i vettori nello spazio somma.
L'implicazione inversa invece mi da qualche problema, e non sono sicuro della mia dimostrazione.
Dimostrazione : si vuole verificare che se ogni vettore nello spazio somma ha una scrittura unica, allora \(U \cap Z = \{\underline{0}_V\}\).
E' abbastanza immediato verificare che \(U \cap Z\) e \(U + Z\) sono entrambi spazi vettoriali, e che \(U \cap Z \subset U + Z\), cioe' che quindi
\[U \cap Z \; < \; U + Z\]
Prendo un qualsiasi vettore \(\underline{v} \in U \cap Z\) -sappiamo ora, un vettore dello spazio somma \(U + Z\). Valgono ovviamente
\[\underline{v} = \underline{v} + \underline{0}_Z\,, \qquad \underline{v} \in U\]
Ma deve valere anche
\[\underline{v} = \underline{0}_U + \underline{v}\,, \qquad \underline{v} \in Z\]
Quindi
\[\underline{v} = \underline{v} + 0_{Z} = \underline{0}_U + \underline{v}\]
Ma la scrittura dev'essere unica (ipotesi), quindi
\[\underline{v} = 0_U,\; 0_Z = \underline{v}\]
\[\Rightarrow \underline{v} \equiv 0_V\]
Ho portato a casa un risultato vero oppure ho barato?
Ringrazio parecchio chi vorra' dare una lettura a 'sta roba -anche solo al di fuori dello spoiler chiaramente.
Qualche preliminare, prima della dimostrazione che -forse- ho portato faticosamente a termine.
Sia \(V\) un \(\mathbb{K}\)-spazio vettoriale. Siano \(U,\,Z\) due suoi sottospazi. Dico che \(U+Z\) e' diretta quando \(U \cap Z = \{\underline{0}_V\}\).
Si vuole dimostrare che la somma di due sottospazi e' diretta sse ogni vettore \(\underline{v} \in U + Z\) ha una scrittura unica -cioe' esiste un'unica coppia di valori \(\underline{u},\,\underline{z}\) tali che \(\underline{v} = \underline{u} + \underline{z}\).
E' piuttosto banale dimostrare che se la somma e' diretta (nel senso chiarito sopra) allora esiste un'unica scrittura di tutti i vettori nello spazio somma.
L'implicazione inversa invece mi da qualche problema, e non sono sicuro della mia dimostrazione.
Dimostrazione : si vuole verificare che se ogni vettore nello spazio somma ha una scrittura unica, allora \(U \cap Z = \{\underline{0}_V\}\).
E' abbastanza immediato verificare che \(U \cap Z\) e \(U + Z\) sono entrambi spazi vettoriali, e che \(U \cap Z \subset U + Z\), cioe' che quindi
\[U \cap Z \; < \; U + Z\]
Prendo un qualsiasi vettore \(\underline{v} \in U \cap Z\) -sappiamo ora, un vettore dello spazio somma \(U + Z\). Valgono ovviamente
\[\underline{v} = \underline{v} + \underline{0}_Z\,, \qquad \underline{v} \in U\]
Ma deve valere anche
\[\underline{v} = \underline{0}_U + \underline{v}\,, \qquad \underline{v} \in Z\]
Quindi
\[\underline{v} = \underline{v} + 0_{Z} = \underline{0}_U + \underline{v}\]
Ma la scrittura dev'essere unica (ipotesi), quindi
\[\underline{v} = 0_U,\; 0_Z = \underline{v}\]
\[\Rightarrow \underline{v} \equiv 0_V\]
Ho portato a casa un risultato vero oppure ho barato?
Ringrazio parecchio chi vorra' dare una lettura a 'sta roba -anche solo al di fuori dello spoiler chiaramente.
Risposte
$0_U$ e $0_Z$ sono lo stesso vettore, quindi così non c'è la contraddizione che cerchi.
Tuttavia, ti basta notare che se $v != 0$ allora $v=v/2 + v/2$ è un'altro modo di ottenere $v$, con $v/2 in U$ e $v/2 in Z$.
Quindi ci sono almeno 2 modi di scrivere $v$ come somma di un vettore di $U$ e uno di $Z$.
Ti torna?
Tuttavia, ti basta notare che se $v != 0$ allora $v=v/2 + v/2$ è un'altro modo di ottenere $v$, con $v/2 in U$ e $v/2 in Z$.
Quindi ci sono almeno 2 modi di scrivere $v$ come somma di un vettore di $U$ e uno di $Z$.
Ti torna?
"robbstark":
Ti torna?
Si, mi trovi d'accordo.
... pero' non sono molto convinto che non possa usare il giochetto con i due zeri. D'altronde, sono effettivamente lo stesso vettore, ma `visti' da due spazi diversi. Piu' precisamente, contraddico l'affermazione
\[\exists !\, \underline{u},\, \underline{z}\,:\,\underline{v} = \underline{u} + \underline{z}\]
Infatti, per esempio, il vettore in \(U\) non e' unico: a patto di sistemare il vettore relativo in \(Z\), mi vanno bene (al fine di ottenere \(\underline{v}\) \in U \cap Z) sia \(\underline{v}\) (\(\in U\)) che \(\underline{0}_U\) (\(\in U\), chiaramente).
Che dici? Non ti piace lo stesso?
Sono molto interessato a capire cosa ti fa sospettare della dimostrazione del post precedente.
"giuscri":
\[\underline{v} = \underline{v} + 0_{Z} = \underline{0}_U + \underline{v}\]
Alla fine stai usando esattamente gli stessi vettori, solo che siccome appartengono all'intersezioni di due sottospazi puoi fare il gioco di vedere uno come vettore di $U$ e l'altro di $Z$ oppure scambiare i ruoli, ma questo non significa avere trovato due coppie di vettori diverse che hanno la stessa somma, perchè i vettori sono sempre gli stessi, anche se li guardi da un ottica diversa.
Oltre all'aspetto puramente logico esposto sopra, ti faccio notare come il problema sarebbe altrimenti banale:
Assumiamo che $U nnn Z$ non contenga solo il vettore nullo, allora conterrà due vettori $a$ e $b$ tali che $a+b = c in U nnn Z$. A questo punto punto puoi dire che $a in U$ e $b in Z$, oppure $a in Z$ e $b in U$ per il semplice fatto che stando nell'intersezione stanno in entrambi gli spazi, e così sosterresti di avere trovato due coppie diverse la cui somma fa $c$?
[ot]Temo di farti perdere la pazienza. In tal caso me ne scuso, mi sono solo imputato sulla questione perche' voglio familiarizzare al meglio con il concetto ...[/ot]
C'e' un risultato che mi ha dato un po' di filo da torcere in questo paio di giorni e che probabilmente non ho ancora chiuso, che recita
A questo punto non sarebbe quell'ordinata a permettermi di giocare con i vettori che stanno sia in \(U\) che in \(Z\)?
Rifacendomi al tuo esempio: ho effettivamente due coppie diverse, una \((a,\,b)\), l'altra \((b,\,a)\).
Difatto, a me pare proprio che la filosofia del richiedere che la somma sia diretta sia appunto quella di richiedere che ogni elemento dello spazio somma sia univocamente individuato da uno e un solo vettore in \(U\), e da uno e un solo vettore in \(Z\) - e che non si voglia possibile invece il giochetto di flippare i personaggi.
C'e' un risultato che mi ha dato un po' di filo da torcere in questo paio di giorni e che probabilmente non ho ancora chiuso, che recita
Siano \(U\), \(Z\) sottospazi vettoriali di \(V\). \(U + Z\) e' diretta sse
\[\varphi\,:\,U \times Z \to V\]
e' iniettiva. Cioe' (aggiungo io) \(U+Z\) e' diretta sse
\[\forall{v} \in V,\,\exists\,! \,\text{coppia}\; (u, z)\;\text{ordinata}\,:\,v = u + z\]
A questo punto non sarebbe quell'ordinata a permettermi di giocare con i vettori che stanno sia in \(U\) che in \(Z\)?
Rifacendomi al tuo esempio: ho effettivamente due coppie diverse, una \((a,\,b)\), l'altra \((b,\,a)\).
Difatto, a me pare proprio che la filosofia del richiedere che la somma sia diretta sia appunto quella di richiedere che ogni elemento dello spazio somma sia univocamente individuato da uno e un solo vettore in \(U\), e da uno e un solo vettore in \(Z\) - e che non si voglia possibile invece il giochetto di flippare i personaggi.
[ot]No problem[/ot]
La definizione di somma diretta che conosco io non dice nulla sull'ordine, ma si parla di un vettore di $U$ e un vettore di $Z$, non di coppia ordinata; quindi il giochetto di cambiare l'ordine non funziona.
Tuttavia se vuoi usare un'altra definizione, come talvolta in matematica succede, e considerare rilevante l'ordine, puoi farlo, anche se in questo caso non ne capisco il senso (ma magari sono io).
Il teorema che citi, dimostra che accidentalmente la tua definizione in cui consideri rilevante l'ordine, pur essendo logicamente diversa, si rivela essere del tutto equivalente.
Quando due frasi sono equivalenti si può sempre fare il gioco di invertire la definizione con la proprietà dedotta. L'importante è essere coerenti con le proprie scelte iniziali.
In questo caso, se usassi la tua definizione di somma diretta, in cui consideri l'ordine della coppia rilevante, il teorema che citi non esisterebbe, perchè sarebbe vero per definizione.
Pur essendoci questa libertà di scelta, è bene decidere una volta per tutte quali sono le definizioni e quali i teoremi, e avere chiaro l'ordine logico, altrimenti si rischia di fare ragionamenti circolari.
La definizione di somma diretta che conosco io non dice nulla sull'ordine, ma si parla di un vettore di $U$ e un vettore di $Z$, non di coppia ordinata; quindi il giochetto di cambiare l'ordine non funziona.
Tuttavia se vuoi usare un'altra definizione, come talvolta in matematica succede, e considerare rilevante l'ordine, puoi farlo, anche se in questo caso non ne capisco il senso (ma magari sono io).
Il teorema che citi, dimostra che accidentalmente la tua definizione in cui consideri rilevante l'ordine, pur essendo logicamente diversa, si rivela essere del tutto equivalente.
Quando due frasi sono equivalenti si può sempre fare il gioco di invertire la definizione con la proprietà dedotta. L'importante è essere coerenti con le proprie scelte iniziali.
In questo caso, se usassi la tua definizione di somma diretta, in cui consideri l'ordine della coppia rilevante, il teorema che citi non esisterebbe, perchè sarebbe vero per definizione.
Pur essendoci questa libertà di scelta, è bene decidere una volta per tutte quali sono le definizioni e quali i teoremi, e avere chiaro l'ordine logico, altrimenti si rischia di fare ragionamenti circolari.
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