Dim di sottospazio
Salve a tutti ragazzi!
Ho un quesito da porvi sulla dimensione di un sottospazio vettoriale e della sua immagine:
Ho una funzione $\varphi : V \to W$ $K-$ lineare, poi considero un sottospazio $S$ di $V$ (e devo provare che sia un sottospazio) e un sottospazio $\varphi(S)$ di $W$ (sempre da provare). Devo provare che vale la relazione $dimS>=dim\varphi(S)$.
Per quanto riguarda la dimostrazione dei due sottospazi vettoriali $S$ e $\varphi(S)$ sto procedendo normalmente, come per un qualsiasi sottospazio vettoriale tenendo conto che $\varphi(S)= {\varphi(v)|v in S}$.
Per dimostrare la disuguaglianza come posso procedere?
Grazie
Ho un quesito da porvi sulla dimensione di un sottospazio vettoriale e della sua immagine:
Ho una funzione $\varphi : V \to W$ $K-$ lineare, poi considero un sottospazio $S$ di $V$ (e devo provare che sia un sottospazio) e un sottospazio $\varphi(S)$ di $W$ (sempre da provare). Devo provare che vale la relazione $dimS>=dim\varphi(S)$.
Per quanto riguarda la dimostrazione dei due sottospazi vettoriali $S$ e $\varphi(S)$ sto procedendo normalmente, come per un qualsiasi sottospazio vettoriale tenendo conto che $\varphi(S)= {\varphi(v)|v in S}$.
Per dimostrare la disuguaglianza come posso procedere?
Grazie
Risposte
Abbiamo $V$ e $W$ spazi vettoriali (di dimensione finita) sul campo $mathbb{K}$, e $varphi: V -> W$ omomorfismo.
Dobbiamo dimostrare che, preso $S$ sottospazio di $V$, si ha
1) $varphi(S)$ è sottospazio di $W$;
2) $dim (S) >= dim (varphi(S))$.
Per la 1) dobbiamo dimostrare che per ogni $w_1,w_2 in varphi( S) $ e per ogni $lambda in mathbb{K}$ si ha $w_1+w_2 in varphi(S)$ e $lambda w_1 in varphi(S)$.
Come dici giustamente anche tu, $varphi( S)= {varphi(u} | u in S}$.
Quindi, per ogni $w_1,w_2 in varphi( S) $ esistono $u_1, u_2 in S$ tali che $w_1= varphi(u_1)$ e $w_2= varphi(u_2)$.
Continua tu
Per la 2) definrei una applicazione ausiliaria: $varphi_1 : S -> W$ tale che $varphi_1(u)= varphi(u)$ per ogni $u in S$.
Certmante $varphi_1$ è un omomorfismo,...
Dobbiamo dimostrare che, preso $S$ sottospazio di $V$, si ha
1) $varphi(S)$ è sottospazio di $W$;
2) $dim (S) >= dim (varphi(S))$.
Per la 1) dobbiamo dimostrare che per ogni $w_1,w_2 in varphi( S) $ e per ogni $lambda in mathbb{K}$ si ha $w_1+w_2 in varphi(S)$ e $lambda w_1 in varphi(S)$.
Come dici giustamente anche tu, $varphi( S)= {varphi(u} | u in S}$.
Quindi, per ogni $w_1,w_2 in varphi( S) $ esistono $u_1, u_2 in S$ tali che $w_1= varphi(u_1)$ e $w_2= varphi(u_2)$.
Continua tu
Per la 2) definrei una applicazione ausiliaria: $varphi_1 : S -> W$ tale che $varphi_1(u)= varphi(u)$ per ogni $u in S$.
Certmante $varphi_1$ è un omomorfismo,...
"Gi8":
Abbiamo $ V $ e $ W $ spazi vettoriali (di dimensione finita) sul campo $ mathbb{K} $, e $ varphi: V -> W $ omomorfismo.
Dobbiamo dimostrare che, preso $ S $ sottospazio di $ V $, si ha
1) $ varphi(S) $ è sottospazio di $ W $;
2) $ dim (S) >= dim (varphi(S)) $.
Per la 1) dobbiamo dimostrare che per ogni $ w_1,w_2 in varphi( S) $ e per ogni $ lambda in mathbb{K} $ si ha $ w_1+w_2 in varphi(S) $ e $ lambda w_1 in varphi(S) $.
Come dici giustamente anche tu, $ varphi( S)= {varphi(u} | u in S} $.
Quindi, per ogni $ w_1,w_2 in varphi( S) $ esistono $ u_1, u_2 in S $ tali che $ w_1= varphi(u_1) $ e $ w_2= varphi(u_2) $.
Continua tu
Per la 2) definrei una applicazione ausiliaria: tale che $ varphi_1(u)= varphi(u) $ per ogni $ u in S $.
Certmante $ varphi_1 $ è un omomorfismo,...
Ok. Presa $ varphi_1 : S -> W $ e fatto vedere che è anch'essa lineare, scelgo un sistema di generatori di $S$ ed un suo vettore $t$ ,e un vettore $v$ dell'$Imvarphi_1$ tale che $ varphi_1(t)=v$.
Così posso dire che l'$Imvarphi_1$ ha un sistema di generatori di ordine uguale a $dimS$ e quindi $dimS>=dimIm\varphi_1$.
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