Dim autospazio

[cucuzza1]

dubbi .....
la dimensione dell autospazio mi da la molteplicità geometrica!?...
se molt.g è magg di molt.alg che significa!?.....che non è diagonalizzabile!?
la dim ker la posso trovare calcolando il det del nucleo!?....
grazie e scusate le domande....

[blackbishop13]

la molteplicità geometrica dell'autovalore $\lambda$ è proprio definita come la dimensione dell'autospazio relativo a $\lambda$.

dovresti conoscere un teorema che dice che la molteplicità algebrica di un autovalore è sempre maggiore o uguale della molteplicità geometrica.

prima dovressti dirci cosa diavolo è il determinante di un nucleo.

[mistake89]

Mmm mi sa che hai un pò di dubbi.

Partiamo da uno alla volta.
La molteplicità geometrica di un autovalore è per definizione la dimensione dell'autospazio relativo.
C'è una proposizione importante che ci assicura che la molteplicità geometrica è sempre compresa tra $1$ e la molteplicità algebrica, qualora la molteplicità geometrica e quella algebrica coincidano, e quando il polinomio caratteristico è interamente scomponibile in $K$, allora la matrice (e quindi l'endomorfismo) è diagonalizzabile.

La terza domanda non ha senso, posta così: cosa vuol dire il determinante del nucleo? Il nucleo è un sottospazio, non una matrice.
Determinare la dimensione del nucleo, o equivalentemente la sua base, equivale a risolvere l'equazione $f(x_1,x_2,...,x_n)=0$, o in termini di autospazi determinare la dimensione di $V_0$

EDIT: scusami blackbishop non avevo visto la tua risposta.

[cucuzza1]

si scusate la parte del nucleo è una fesseria.........
...un'ultima domanda (spero che abbia un senso)....
dire se la matrice A è diagonalizzabile!?..
devo sapere se esiste una matrice P che moltiplicata per A e per l'inverso di P mi da una matrice D diagonale!?......
...se trovo autovalori reali e distinti vuol dire che A è diagonalizzabile!?..
.

[j18eos]

Se e solo se la somma delle molteplicità geometriche dei vari autovalori di A fosse l'ordine di A essa sarebbe diagonalizzabile!