Difficoltà su base di autovettori
Ciao a tutti,
scrivo il mio primo messaggio perchè sono in difficoltà con un tipo di esercizio che comprende la diagonalizzazione di una matrice e la successiva individuazione di una base di autovettori.
Dunque, la matrice di partenza è:
A = $((1,1,1),(0,3,2),(0,0,1))$
Continuando nello svolgimento, per il polinomio caratteristico:
A' = $((1-λ,1,1),(0,3-λ,2),(0,0,1-λ))$
Le due radici saranno: λ1 = 1 con molteplicità algebrica pari a 2
λ2 = 3 con molteplicità algebrica pari a 1
La matrice risulta essere diagonalizzabile perchè svolgendo i calcoli la molteplicità algebrica coincide con quella geometrica (risulta anche a voi?)
A questo punto devo estrarre una base di autovettori.
Per λ1 = 1 ---------> $((0,1,1),(0,2,2),(0,0,0))$ --------------> $\{(y + z = 0), (2y + 2z = 0):}$
Per λ2 = 3 ---------> $((-2,1,1),(0,0,2),(0,0,-2))$ ------------> $\{(-2x + y + z = 0), (2z = 0), (-2z = 0):}$
Dal momento che in una base di autovettori non può figurare lo 0, prendendo come esempio il secondo sistema (quello per λ2) troviamo z=0. A questo punto. la mia domanda è: do un arbitrario valore a "z" e poi o a "x" o a "y" per risolvere la prima equazione del sistema?
Grazie in anticipo!
P.S. Ovviamente quando andiamo a determinare una base di autovettori, si ripete due volte il procedimento per λ1 giacchè la molteplicità algebrica è 2.
scrivo il mio primo messaggio perchè sono in difficoltà con un tipo di esercizio che comprende la diagonalizzazione di una matrice e la successiva individuazione di una base di autovettori.
Dunque, la matrice di partenza è:
A = $((1,1,1),(0,3,2),(0,0,1))$
Continuando nello svolgimento, per il polinomio caratteristico:
A' = $((1-λ,1,1),(0,3-λ,2),(0,0,1-λ))$
Le due radici saranno: λ1 = 1 con molteplicità algebrica pari a 2
λ2 = 3 con molteplicità algebrica pari a 1
La matrice risulta essere diagonalizzabile perchè svolgendo i calcoli la molteplicità algebrica coincide con quella geometrica (risulta anche a voi?)
A questo punto devo estrarre una base di autovettori.
Per λ1 = 1 ---------> $((0,1,1),(0,2,2),(0,0,0))$ --------------> $\{(y + z = 0), (2y + 2z = 0):}$
Per λ2 = 3 ---------> $((-2,1,1),(0,0,2),(0,0,-2))$ ------------> $\{(-2x + y + z = 0), (2z = 0), (-2z = 0):}$
Dal momento che in una base di autovettori non può figurare lo 0, prendendo come esempio il secondo sistema (quello per λ2) troviamo z=0. A questo punto. la mia domanda è: do un arbitrario valore a "z" e poi o a "x" o a "y" per risolvere la prima equazione del sistema?
Grazie in anticipo!
P.S. Ovviamente quando andiamo a determinare una base di autovettori, si ripete due volte il procedimento per λ1 giacchè la molteplicità algebrica è 2.
Risposte
non ho controllato i conti ma ti spiego cosa devi fare con quei due sistemi. I due sistemi si possono alla fine ridurre ai sistemi:
1) $y+z=0$
2) $\{(-2x+y=0),(z=0):}$
1) il primo sistema ci dice che gli autovettori cercati sono vettori che soddisfano la condizione $y=-z$, mentre non ho condizioni sulla $x$. Quindi saranno vettori della forma $(x,-z,z)$. Siccome la moltepl. alg. è 2, dovrò trovare 2 vettori di questo tipo linearmente indipendenti attribuendo valori casuali a $x$ e $z$. Scegliendo ad esempio $x=1$ e $z=0$ ottengo $(1,0,0)$, mentre scegliendo $x=0$ e $z=-1$ ottengo $(0,1,-1)$. Allora $(1,0,0)$ e $(0,1,-1)$ costituiscono una base di autovettori per $\lambda_1$
2) il secondo sistema ci dice che gi autovettori cercati sono vettori che soddisfano le condizioni $z=0$ e $y=2x$. Quindi saranno vettori della forma $(x,2x,0)$. Siccome la moltepl. alg. è 1, dovrò trovare un solo vettore di questo tipo attribuendo valori casuali a $x$. Scegliendo ad esempio $x=1$ ottengo $(1,2,0)$, che costituisce una base di autovettori per $\lambda_2$
spero di non aver commesso errori
1) $y+z=0$
2) $\{(-2x+y=0),(z=0):}$
1) il primo sistema ci dice che gli autovettori cercati sono vettori che soddisfano la condizione $y=-z$, mentre non ho condizioni sulla $x$. Quindi saranno vettori della forma $(x,-z,z)$. Siccome la moltepl. alg. è 2, dovrò trovare 2 vettori di questo tipo linearmente indipendenti attribuendo valori casuali a $x$ e $z$. Scegliendo ad esempio $x=1$ e $z=0$ ottengo $(1,0,0)$, mentre scegliendo $x=0$ e $z=-1$ ottengo $(0,1,-1)$. Allora $(1,0,0)$ e $(0,1,-1)$ costituiscono una base di autovettori per $\lambda_1$
2) il secondo sistema ci dice che gi autovettori cercati sono vettori che soddisfano le condizioni $z=0$ e $y=2x$. Quindi saranno vettori della forma $(x,2x,0)$. Siccome la moltepl. alg. è 1, dovrò trovare un solo vettore di questo tipo attribuendo valori casuali a $x$. Scegliendo ad esempio $x=1$ ottengo $(1,2,0)$, che costituisce una base di autovettori per $\lambda_2$
spero di non aver commesso errori
Grazie mille per l'aiuto! Quindi lo "0" può comparire in una base di autovettori [(1,0,0)]...credevo non potesse mai comparire.
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