Difficoltà con la geometria
Scusate ma non sto riuscendo a capire un paio di cose.....
In questo pdf a pag 41 quesito lettera h che è svolto:
http://www.dmi.unict.it/~gquattro/quatt ... parte1.pdf
Trovare il piano contenente una retta e ortogonale al piano. Non capisco come imposta l' equazione del fascio....intanto porta la retta in forma cartesiana, ma poi avendo 3 equazioni e solo [tex]\lambda,\mu[/tex] non riesco ad impostare il fascio, potreste dirmi come si deve fare e magari impostarlo voi perchè io le ho provate di tutte.
In quest' altro ho un piano di equazione: [tex]x-2y+1=0[/tex] la retta [tex]x-y=z-2=0[/tex] e il punto [tex]A(-1,0,0)[/tex]
Mi si chiede di trovare la proiezioni ortogonale di r su alfa. Io ho provato a farlo, sarà data dal piano contenete r e ortogonale ad alfa, e alfa stesso.
Quindi devo usare l' equazione del fascio, imporre che il piano sia ortogonale, a me il fascio risulta:
[tex]\lambda(x-y)+\mu(z-2)=0[/tex]
Poi fisso i fattori e ho [tex]x-y+h(z-2)=0[/tex] il vettore normale è [tex](1,-1,h)[/tex] ma non mi risulta ortogonale al vettore normale di alfa, perchè il prodotto vettoriale non fa 0. Vi risulta?
P.S non devo nemmeno imporre il passaggio per A vero?
In questo pdf a pag 41 quesito lettera h che è svolto:
http://www.dmi.unict.it/~gquattro/quatt ... parte1.pdf
Trovare il piano contenente una retta e ortogonale al piano. Non capisco come imposta l' equazione del fascio....intanto porta la retta in forma cartesiana, ma poi avendo 3 equazioni e solo [tex]\lambda,\mu[/tex] non riesco ad impostare il fascio, potreste dirmi come si deve fare e magari impostarlo voi perchè io le ho provate di tutte.
In quest' altro ho un piano di equazione: [tex]x-2y+1=0[/tex] la retta [tex]x-y=z-2=0[/tex] e il punto [tex]A(-1,0,0)[/tex]
Mi si chiede di trovare la proiezioni ortogonale di r su alfa. Io ho provato a farlo, sarà data dal piano contenete r e ortogonale ad alfa, e alfa stesso.
Quindi devo usare l' equazione del fascio, imporre che il piano sia ortogonale, a me il fascio risulta:
[tex]\lambda(x-y)+\mu(z-2)=0[/tex]
Poi fisso i fattori e ho [tex]x-y+h(z-2)=0[/tex] il vettore normale è [tex](1,-1,h)[/tex] ma non mi risulta ortogonale al vettore normale di alfa, perchè il prodotto vettoriale non fa 0. Vi risulta?
P.S non devo nemmeno imporre il passaggio per A vero?
Risposte
Nessuno saprebbe chiarirmi questo dubbio?
1° quesito:
se ho capito: avere un piano $\pi$ dato ed una retta $r$ data;
e trovare il piano$\pi'$ che contenga $r$ e sia ortogonale a $\pi$.
Come dicevi, se la retta ti è data in forma cartesiana, hai l'equazione
del fascio usando le DUE equazioni che definiscono la retta.
Ora due piani sono ortogonali se e solo se i loro
coefficienti di giacitura $(l,m,n)$ ed $(l',m',n')$ (che definiscono i vettori normali all'uno ed a l'altro),
sono tali che:$ll'+mm'+"nn"'=0$, cioè, comprensibilmente,
i due vettori normali sono tra loro ortogonali.
se ho capito: avere un piano $\pi$ dato ed una retta $r$ data;
e trovare il piano$\pi'$ che contenga $r$ e sia ortogonale a $\pi$.
Come dicevi, se la retta ti è data in forma cartesiana, hai l'equazione
del fascio usando le DUE equazioni che definiscono la retta.
Ora due piani sono ortogonali se e solo se i loro
coefficienti di giacitura $(l,m,n)$ ed $(l',m',n')$ (che definiscono i vettori normali all'uno ed a l'altro),
sono tali che:$ll'+mm'+"nn"'=0$, cioè, comprensibilmente,
i due vettori normali sono tra loro ortogonali.
Per il secondo concettualmente è lo stesso: trovato il piano ortogonale,
l'intersezione con $\alpha$ ti darà la retta cercata.
Non puoi togliere i due parametri per avere $h$, perchè
evidentemente non potrai poi imporre la condizione di ortogonalità.
Questo vuol dire che il piano cercato è proprio quello
che non è incluso nella forma con $h$, ovvero quello con $\lambda=0$
-ed è allora proprio il piano $z-2=0$
l'intersezione con $\alpha$ ti darà la retta cercata.
Non puoi togliere i due parametri per avere $h$, perchè
evidentemente non potrai poi imporre la condizione di ortogonalità.
Questo vuol dire che il piano cercato è proprio quello
che non è incluso nella forma con $h$, ovvero quello con $\lambda=0$
-ed è allora proprio il piano $z-2=0$
No scusa non ti seguo, il mio problema è un' altro, per trovare la proiezione di una retta io interseco due piani.
In quel caso io devo trovare il piano che contiene r, e lo trovo con il fascio di piani, il mio problema è che in quel caso io ho 3 variabili, anche passando in forma cartesiana e non so come impostare l' equazione del fascio visto che ho solo [tex]\lambda,\mu[/tex] e mi ritrovo x,y, e z....
In quel caso io devo trovare il piano che contiene r, e lo trovo con il fascio di piani, il mio problema è che in quel caso io ho 3 variabili, anche passando in forma cartesiana e non so come impostare l' equazione del fascio visto che ho solo [tex]\lambda,\mu[/tex] e mi ritrovo x,y, e z....
Quali tre variabili?
ora però devo proprio uscire da qua, bye.
ora però devo proprio uscire da qua, bye.
sia dato il piano $\pi: ax+by+cz+d=0$
e la retta $r$, definita come intersezione di: $a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$ e $a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$;
Il fascio di piani con asse $r$ ha equazione: $\lambda(a_1x+b_1y+c_1z+d_1)+\mu(a_2x+b_2y+c_2z+d_2)=$
$=(\lambdaa_1+\mua_2)x+(\lambdab_\+\mub_2)y+(\lambdac_1+\muc_2)z+(\lambdad_1+\mud_2)=0$.
Tra i piani del fascio, quello ortogonale a $\pi$ è tale che:
$(\lambdaa_1+\mua_2)a+(\lambdab_\+\mub_2)b+(\lambdac_1+\muc_2)c=0$.
Le tue incognite non sono $(x,y,z)$, ma $(\lambda,\mu)$.
Se dividi per $\lambda$ l'equazione del fascio per averlo in funzione di $h$, esprimi
in questo modo tutti i piani TRANNE quello per $\lambda=0$.
Quindi, come nel secondo esercizio, non potendo
esprimere la condizione di ortogonalità in funzione di $h$, voleva proprio
dire che il piano che cercavi era proprio quello per $\lambda=0$.
Trovato il piano ortogonale $\pi'$, la retta-proiezione di $r$ su $\pi$ sarà
definita dalle equazioni di $\pi$ e di $\pi'$.
e la retta $r$, definita come intersezione di: $a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$ e $a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$;
Il fascio di piani con asse $r$ ha equazione: $\lambda(a_1x+b_1y+c_1z+d_1)+\mu(a_2x+b_2y+c_2z+d_2)=$
$=(\lambdaa_1+\mua_2)x+(\lambdab_\+\mub_2)y+(\lambdac_1+\muc_2)z+(\lambdad_1+\mud_2)=0$.
Tra i piani del fascio, quello ortogonale a $\pi$ è tale che:
$(\lambdaa_1+\mua_2)a+(\lambdab_\+\mub_2)b+(\lambdac_1+\muc_2)c=0$.
Le tue incognite non sono $(x,y,z)$, ma $(\lambda,\mu)$.
Se dividi per $\lambda$ l'equazione del fascio per averlo in funzione di $h$, esprimi
in questo modo tutti i piani TRANNE quello per $\lambda=0$.
Quindi, come nel secondo esercizio, non potendo
esprimere la condizione di ortogonalità in funzione di $h$, voleva proprio
dire che il piano che cercavi era proprio quello per $\lambda=0$.
Trovato il piano ortogonale $\pi'$, la retta-proiezione di $r$ su $\pi$ sarà
definita dalle equazioni di $\pi$ e di $\pi'$.
Credo di capire che i miei errori siano nel continuare i calcoli con il fascio di piani, ora stavo facendo un esercizio simile e ho lo stesso tipo di problema, mi aiuteresti nel vedere cosa continuo a sbagliare con i parametri?
Allora io ho nello spazio [tex]A(1,0-1)[/tex] il piano [tex]\alpha)x-y+1=0[/tex] e la retta [tex]r) x=2y-z=0[/tex]
Se devo trovare il piano passante per r e parallelo ad alfa io dovrei trovare il piano contenente r e lo faccio considerando il fascio, poi impongo che il suo vettore normale sia parallelo al vettore normale del piano alfa.
[tex]\lambda(x)+\mu(2y-z)=0[/tex]
Il vettore normale dovrebbe essere: [tex]v(\lambda,2\mu,-\mu)[/tex] e quello di alfa [tex]w(1,-1,0)[/tex] allora dovrebbe verificarsi che:
[tex]v_xw_y-v_yw_x=v_xw_z-v_zw_x=v_yw_z-v_zw_y=0[/tex]
A me risulta:
[tex]-\lambda-2\mu=\mu=-\mu=0[/tex]
Ma entrambi vengono 0.....
Allora io ho nello spazio [tex]A(1,0-1)[/tex] il piano [tex]\alpha)x-y+1=0[/tex] e la retta [tex]r) x=2y-z=0[/tex]
Se devo trovare il piano passante per r e parallelo ad alfa io dovrei trovare il piano contenente r e lo faccio considerando il fascio, poi impongo che il suo vettore normale sia parallelo al vettore normale del piano alfa.
[tex]\lambda(x)+\mu(2y-z)=0[/tex]
Il vettore normale dovrebbe essere: [tex]v(\lambda,2\mu,-\mu)[/tex] e quello di alfa [tex]w(1,-1,0)[/tex] allora dovrebbe verificarsi che:
[tex]v_xw_y-v_yw_x=v_xw_z-v_zw_x=v_yw_z-v_zw_y=0[/tex]
A me risulta:
[tex]-\lambda-2\mu=\mu=-\mu=0[/tex]
Ma entrambi vengono 0.....
affinchè un piano di un fascio
sia parallelo ad un piano $\pi$ è necessario che
l'asse del fascio sia parallelo a $\pi$.
Poichè la retta $r$ non è parallela ad $\alpha$ _già
hai un sistema impossibile nel porre i parametri proporzionali:
$2\mu=k(-1)$
e
$-\mu=k(0)$
sia parallelo ad un piano $\pi$ è necessario che
l'asse del fascio sia parallelo a $\pi$.
Poichè la retta $r$ non è parallela ad $\alpha$ _già
hai un sistema impossibile nel porre i parametri proporzionali:
$2\mu=k(-1)$
e
$-\mu=k(0)$
Ah, quindi l' equazione di questo piano non esiste?
In ogni caso è corretto negli esercizi questo metodo di ricerca di [tex]\lambda,\mu[/tex] e del vettore normale del fascio?
Ti ringrazio.
In ogni caso è corretto negli esercizi questo metodo di ricerca di [tex]\lambda,\mu[/tex] e del vettore normale del fascio?
Ti ringrazio.
Che dire? dipende dall'esercizio.
In genere, se hai retta e piano, conviene considerare l'equazione del fascio; e poi
quindi il generico vettore normale, perchè è quel vettore che definisce la giacitura di un piano.
In genere, se hai retta e piano, conviene considerare l'equazione del fascio; e poi
quindi il generico vettore normale, perchè è quel vettore che definisce la giacitura di un piano.
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