Differenziale e Differenziabilità

[nudino]

Ciao a tutti,
sono nuovo e non so se sto postando nel luogo adatto (anche se tutto mi fa pensare di sì), ma mi trovo davanti ad un dilemma su una domanda che non riesco a sbrogliare:

Sia f: U -> R una funzione da un aperto U di R^2 che ammette tutte le derivate direzionali in p appartenente ad U. Allora...

Le scelte sono tre:
a) f ha un differenziale in p
b) f è continua in p
c) f è differenziabile in p

Ora, so che la risposta è che f ha un differenziale in p, ma come fa una funzione che ammette tutte le derivate direzionali ad essere non continua e quindi non differenziabile? Cercando in giro ho trovato anche siti in cui fornivano esempi di applicazioni in cui queste proprietà erano verificate (tutte funzioni con sistemi), ma nessuno spiega mai perché e come sia possibile che esistano le derivate direzionali se non è nemmeno continua .
Qualcuno mi può aiutare?

[Luca9712]

Ti do la mia opinione che vale molto poco, visto che non ho fatto matematica.

Visto che le derivate parziali sono particolari derivate direzionali, lungo le direzioni date da $(1,0)$, rispetto ad $x$, e $(0,1)$ rispetto ad $y$, se le le stesse (derivate parziali) esistono soltanto in un intorno dell'origine non implica che la funzione sia continua nell'origine;
per ottenere questo, le derivate devono essere limitate in un intorno dell'origine, garantita dalla continuità delle derivate: continuità in tutto un aperto.

p.s. : le derivate direzionali le calcoli, se esistono, attraverso la loro definizione.

[Sk_Anonymous]

@nudino: cosa significa che una funzione ha un differenziale in \(P\)?