Differenziale della funzione distanza
Il Do Carmo Differential Geometry of Curves and Surfaces dice:
A critical point of a differentiable function \(f: S \to \mathbb{R}\) defined on a regular surface \(S\) is a point \(p \in S\) such that \(df_p=0\).
a. Let \(f: S \to \mathbb{R}\) be given by \(f(p)=|p-p_0|\), \(p \in S\), \(p_0 \notin S\). Show that \(p\) is a critical point of \(f\) if and only if bla bla bla...
Il problema è: ma quanti critical points ha quella funzione? Posto \(p=(x, \, y, \, z)\) e \(p_0 =(x_0, \, y_0, \, z_0)\), dovrebbe essere \[df(p) = \left( \frac{x-x_0}{|p-p_0|} \, \frac{y-y_0}{|p-p_0|} \, \frac{z-z_0}{|p-p_0|} \right) \] e \[df(p)=0 \Longleftrightarrow p=p_0\]o mi sfugge qualcosa?
A critical point of a differentiable function \(f: S \to \mathbb{R}\) defined on a regular surface \(S\) is a point \(p \in S\) such that \(df_p=0\).
a. Let \(f: S \to \mathbb{R}\) be given by \(f(p)=|p-p_0|\), \(p \in S\), \(p_0 \notin S\). Show that \(p\) is a critical point of \(f\) if and only if bla bla bla...
Il problema è: ma quanti critical points ha quella funzione? Posto \(p=(x, \, y, \, z)\) e \(p_0 =(x_0, \, y_0, \, z_0)\), dovrebbe essere \[df(p) = \left( \frac{x-x_0}{|p-p_0|} \, \frac{y-y_0}{|p-p_0|} \, \frac{z-z_0}{|p-p_0|} \right) \] e \[df(p)=0 \Longleftrightarrow p=p_0\]o mi sfugge qualcosa?
Risposte
Mi sembra giusto il ragionamento, nel bla bla cosa dice?
"Delirium":
dovrebbe essere \[df(p) = \left( \frac{x-x_0}{|p-p_0|} \, \frac{y-y_0}{|p-p_0|} \, \frac{z-z_0}{|p-p_0|} \right) \] e \[df(p)=0 \Longleftrightarrow p=p_0\]
\( p \) non può prendere il valore \( p_0 \), giacché \( p_0 \) non sta su \( S \). Comunque, tu hai lavorato pensando a \( S := \mathbb{R}^3 \setminus \{ p_0 \} \), che peraltro non è una superficie regolare. Se \( S \) è una superficie regolare, e pensiamo di parametrizzarla nella forma \( p = \varphi(u,v) \), allora direi che i punti critici di \( f(p) \) coincidono con i punti che annullano il gradiente della mappa \( g(u,v) := |p(u,v) - p_0| \).
Capisco e non capisco. La funzione in questione piglia punti di una superficie regolare e ne calcola la distanza da un punto fissato (possiamo supporre che sia l'origine, tanto per fissare le idee)... Problema: perché questa funzione non è semplicemente una restrizione ad \(S\) della funzione distanza definita da \(\mathbb{R}^3\) a \(\mathbb{R}\)? In fondo anche i punti della superficie sono punti dello spazio, e quella che hai inserito nella tua espressione analitica, s.stuv, non è che una caratterizzazione ulteriore (hai scritto in formule che i punti di cui vogliamo la distanza sono vincolati ad una superficie)... Dove sbaglio?
Grazie a tutti per le risposte!
Grazie a tutti per le risposte!
Si effettivamente non è un se e solo se.. Prendiamo come $S$ la sfera di raggio 2 centrata in $((1),(0),(0))$, la funzione distanza ha ovviamente un massimo e un minimo. Vediamo com'è fatta la distanza dall'origine,al quadrato, usiamo Lagrange:
$x^2 +y^2+ z^2 +lambda((x-1)^2+y^2+z^2-4)$
Troviamo le derivate:
$2x+lambda(2x-2)=0 => lambda= x/(1-x)$
$2y +lambda 2y=0 => y=0\text{ o } lambda= -1$ ma $lambda=-1=> x=x-1=>0=-1$, lo escludiamo.
$2z +lambda 2z=0 => z=0$
$(x-1)^2+y^2+z^2-4 =>\{(x^2 -2x -3=0),=> x=1±sqrt(1+3) => x=-1\text{ et }x=3.$
Ecco il massimo e minimo, come si vede con Lagrange sono in $((3),(0),(0))$ e $((-1),(0),(0))$.
Come lo faresti senza Lagrange?
$x^2 +y^2+ z^2 +lambda((x-1)^2+y^2+z^2-4)$
Troviamo le derivate:
$2x+lambda(2x-2)=0 => lambda= x/(1-x)$
$2y +lambda 2y=0 => y=0\text{ o } lambda= -1$ ma $lambda=-1=> x=x-1=>0=-1$, lo escludiamo.
$2z +lambda 2z=0 => z=0$
$(x-1)^2+y^2+z^2-4 =>\{(x^2 -2x -3=0),=> x=1±sqrt(1+3) => x=-1\text{ et }x=3.$
Ecco il massimo e minimo, come si vede con Lagrange sono in $((3),(0),(0))$ e $((-1),(0),(0))$.
Come lo faresti senza Lagrange?
@Maci86: non afferro l'intentio dicendi... Ad ogni modo realizzo ora quanto sono (stato) stupido, visto che la funzione distanza tra origine (o altro punto fissato) e punti vincolati su di una superficie può ammettere appunto massimi e/o minimi, cioè quindi punti critici.
Intentio est ragionare facere 
A parte gli scherzi, volevo mostrarti che, ad esempio con Lagrange, possiamo trovare massimi e minimi della funzione distanza su una superficie, prendendo appunto la superficie come vincolo. La domanda finale era su come gestiresti, senza scomodare l'analisi, l'equazione della distanza dei punti della sfera dall'origine
A parte gli scherzi, volevo mostrarti che, ad esempio con Lagrange, possiamo trovare massimi e minimi della funzione distanza su una superficie, prendendo appunto la superficie come vincolo. La domanda finale era su come gestiresti, senza scomodare l'analisi, l'equazione della distanza dei punti della sfera dall'origine
Dunque... se uno guarda le cose dal punto di vista della geometria differenziale, sappiamo bene che se \( f \colon S \to \mathbb{R} \) è una mappa differenziabile, allora il suo differenziale \( df_{p} \) in un punto \( p \) di \( S \) è una forma lineare \( df_{p} \colon T_{p} S \to \mathbb{R} \) definita sullo spazio tangente ad \( S \) in \( p \). Tale forma è nulla se e solo se mappa ogni vettore di \( T_{p} S \) in \( 0 \). Ora, dato che \( df_p \) è lineare, e dato che se \( S \) è una superficie regolare \( T_p S \) è uno spazio vettoriale bidimensionale, \( df_p \) sarà nulla se mappa in \( 0 \) i due vettori della base di \( T_p S \). La base che uno canonicamente prende su \( T_p S \) è fatta dai vettori tangenti alle due curve coordinate in \( p \); per essere ancora più precisi, se \( (U,(x_1,x_2)) \) è una carta in \( p \), allora la base è \( \bigg ( \frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial x_2} \bigg ) \). Quindi, in definitiva, la condizione di annullamento del differenziale è esprimibile nei termini seguenti:
\[
df_{p} \bigg ( \frac{\partial}{\partial x_j} \bigg ) = 0 \implies \frac{\partial f}{\partial x_j} \bigg |_p = 0 \hspace{0.3cm} \mbox{ per } j = 1,2.
\]
Ovviamente, a destra dell'implicazione con \( f \) si è denotata la "versione coordinata " della mappa \( f \). Quando parlavo della condizione di annullamento del gradiente nel caso di superfici parametrizzate, stavo in effetti particolareggiando questo tipo di discorso qua, che credo sia piuttosto generale, almeno nei termini della geometria differenziale.
Così, giusto per farci un esempio comodo, se uno vuole caratterizzare la distanza dall'origine per un punto vincolato a stare sulla superficie ottenuta tagliando un cilindro circolare retto di asse \( z \) e raggio di base \( r = 1 \) con i piani \( z = 0 \) e \( z = 1 \), allora si parametrizza la superficie:
\[
p(\theta,z) = (\cos \theta, \sin \theta,z), \theta \in [0,2\pi], z \in [0,1]
\]
e trova subito che la distanza del generico punto dall'origine è
\[
d(\theta,z) = \sqrt{1+z^2}.
\]
Emerge subito così che punti che si trovano alla medesima quota hanno la stessa distanza dall'origine (indipendenza da \( \theta \) ), come ci aspettavamo, che i punti aventi \( z= 0 \) hanno la distanza minima \( d_{min} = 1 \), mentre quelli aventi \( z = 1 \) hanno distanza massima \( d_{max} = \sqrt{2} \).
Ciao!
\[
df_{p} \bigg ( \frac{\partial}{\partial x_j} \bigg ) = 0 \implies \frac{\partial f}{\partial x_j} \bigg |_p = 0 \hspace{0.3cm} \mbox{ per } j = 1,2.
\]
Ovviamente, a destra dell'implicazione con \( f \) si è denotata la "versione coordinata " della mappa \( f \). Quando parlavo della condizione di annullamento del gradiente nel caso di superfici parametrizzate, stavo in effetti particolareggiando questo tipo di discorso qua, che credo sia piuttosto generale, almeno nei termini della geometria differenziale.
Così, giusto per farci un esempio comodo, se uno vuole caratterizzare la distanza dall'origine per un punto vincolato a stare sulla superficie ottenuta tagliando un cilindro circolare retto di asse \( z \) e raggio di base \( r = 1 \) con i piani \( z = 0 \) e \( z = 1 \), allora si parametrizza la superficie:
\[
p(\theta,z) = (\cos \theta, \sin \theta,z), \theta \in [0,2\pi], z \in [0,1]
\]
e trova subito che la distanza del generico punto dall'origine è
\[
d(\theta,z) = \sqrt{1+z^2}.
\]
Emerge subito così che punti che si trovano alla medesima quota hanno la stessa distanza dall'origine (indipendenza da \( \theta \) ), come ci aspettavamo, che i punti aventi \( z= 0 \) hanno la distanza minima \( d_{min} = 1 \), mentre quelli aventi \( z = 1 \) hanno distanza massima \( d_{max} = \sqrt{2} \).
Ciao!
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