Differenza tra omeomorfismo ed omotopia
Ciao a tutti,
sapreste dirmi qual'è la differenza tra un omeomorfismo ed una omotopia?
Grazie
sapreste dirmi qual'è la differenza tra un omeomorfismo ed una omotopia?
Grazie
Risposte
No beh, la differenza tra omeomorfismo e diffeomorfismo la conosco....ho fatto la domanda inerente alla omotopia e all'omeomorfismo perchè le due cose mi sembravano molto simili, infatti un'equivalenza omotopica è un'omeomorfismo, ma non è detto il viceversa.....una cosa che mi sfugge però è: un'equivalenza omotopica ed una omotopia sono due cose diverse, giusto? questo perchè l'equivalenza omotopica è necessariamente invertibile a differenza della omotopia.
Quindi sapreste farmi un esempio di omotopia che non sia una equivalenza omotopica e quindi che non sia un omeomorfismo?
in più che differenza c'è tra una sfera ed una palla? forse che la palla è intesa come una sfera "piena"?
Quindi sapreste farmi un esempio di omotopia che non sia una equivalenza omotopica e quindi che non sia un omeomorfismo?
in più che differenza c'è tra una sfera ed una palla? forse che la palla è intesa come una sfera "piena"?
"Alexp":
in più che differenza c'è tra una sfera ed una palla? forse che la palla è intesa come una sfera "piena"?
Palla chiusa (o disco chiuso): $D^n:=\{ x\in RR^n: |x|<=1\}$.
Sfera: $S^(n-1):=\{ x\in RR^n: |x|=1\}$.
Insomma, le palle sono "piene" (da cui il famoso modo di dire Averne le palle piene...
); le sfere, che sono in sostanza i "gusci" delle palle, non sono piene. Praticamente tra $D^n$ e $S^(n-1)$ c'è la stessa differenza che c'è tra cerchio e circonferenza nella Geometria Elementare.La nomenclatura deriva dall'inglese: per gli anglofoni, $D^n$ è una ball (o anche un disc, se $n=2$), mentre $S^(n-1)$ è una sphere.
Ok grazie Gugo82,
Qualcuno saprebbe farmi un esempio di omotopia che non sia una equivalenza omotopica e quindi che non sia un omeomorfismo?
Qualcuno saprebbe farmi un esempio di omotopia che non sia una equivalenza omotopica e quindi che non sia un omeomorfismo?
"Alexp":
Ok appena ti è possibile rispondimi....
la mia domanda è: su wikipedia la palla è intesa come sinonimo di sfera, ma in realtà non è così? per palla si intende forse una sfera "piena"?
Certo, la palla (o il disco come dicevo io) e' piena e per questo la puoi strizzare al punto in se stessa. (quindi palla e punto sono omotopi anche se non sono omeomorfi)
Con la sfera non ci riesci - ti sfido a inventare una deformazione continua che operi sulla superfice della sfera e che alla fine mandi tutto in un punto
(bada pero' che dimostrarne rigorosamente l'impossibilita non e' per nulla facile).
Comunque mi sembra assai strano che su wikipedia il termine palla sia sinonimo di sfera.
però allora un toro "pieno" e quindi non solo superficie, può essere deformato ad una circonferenza, giusto? così come una palla diventa un punto, mente una sfera no
"Alexp":
però allora un toro "pieno" e quindi non solo superficie, può essere deformato ad una circonferenza, giusto? così come una palla diventa un punto, mente una sfera no
SI'
Ultima cosa...ricapitolando allora un omeomorfismo è un'equivalenza omotopica, ma una equivalenza omotopica non è detto che sia un omeomorfismo, questo perchè?
forse perchè se la deformazione di un oggetto conduce ad un oggetto (dominio della funzione inversa) che non ha sufficienti punti per poter ricomporre l'oggetto di partenza bisogna ricorrere ad una deformazione inversa che lo faccia (come ad esempio una palla in un punto, il punto è come se venisse rigonfiato per tornare palla, ma questa operazione non è un omeomorfismo, ma una omotopia).
forse perchè se la deformazione di un oggetto conduce ad un oggetto (dominio della funzione inversa) che non ha sufficienti punti per poter ricomporre l'oggetto di partenza bisogna ricorrere ad una deformazione inversa che lo faccia (come ad esempio una palla in un punto, il punto è come se venisse rigonfiato per tornare palla, ma questa operazione non è un omeomorfismo, ma una omotopia).
"Alexp":
No beh, la differenza tra omeomorfismo e diffeomorfismo la conosco....ho fatto la domanda inerente alla omotopia e all'omeomorfismo perchè le due cose mi sembravano molto simili, infatti un'equivalenza omotopica è un'omeomorfismo, ma non è detto il viceversa.....una cosa che mi sfugge però è: un'equivalenza omotopica ed una omotopia sono due cose diverse, giusto? questo perchè l'equivalenza omotopica è necessariamente invertibile a differenza della omotopia.
Quindi sapreste farmi un esempio di omotopia che non sia una equivalenza omotopica e quindi che non sia un omeomorfismo?
in più che differenza c'è tra una sfera ed una palla? forse che la palla è intesa come una sfera "piena"?
Ho visto solo ora questo messaggio - l'affermazione " l'equivalenza omotopica è necessariamente invertibile" non e' vera, come credevo di aver messo in luce.
Dire che $f:X\to Y$ e' invertibile significa che esiste $g:Y\to X$ tale che $f\circ g$ E' EGUALE all'identita' su $Y$ e $g\circ f$ E' EGUALE all'identita' su $X$.
Dire che $f:X\to Y$ e' un 'equivalenza omotopica significa che esiste $g:Y\to X$ tale che $f\circ g$ E' OMOTOPA all'identita' su $Y$ e $g\circ f$ E' OMOTOPA all'identita' su $X$.
Se prendi $X$ eguale al disco e $Y$ eguale al centro puoi considerare $f$ che manda ogni punto nel centro e $g$ che manda il centro nel centro. Se fai la verifica vedi che sono una inversa
omotopica dell'altra, ma non sono una inversa dell'altra. Dunque $X$ e $Y$ sono omotopicamente equivalenti ma non sono omeomorfi.
Si, me ne ero accorto di aver sbagliato, ho confuso le cose.....ma riguardo il mio ultimo post?
te lo riporto:
"ricapitolando allora un omeomorfismo è un'equivalenza omotopica, ma una equivalenza omotopica non è detto che sia un omeomorfismo, questo perchè?
forse perchè se la deformazione di un oggetto conduce ad un oggetto (dominio della funzione inversa) che non ha sufficienti punti per poter ricomporre l'oggetto di partenza bisogna ricorrere ad una deformazione inversa che lo faccia (come ad esempio una palla in un punto, il punto è come se venisse rigonfiato per tornare palla, ma questa operazione non è un omeomorfismo, ma una omotopia)".
te lo riporto:
"ricapitolando allora un omeomorfismo è un'equivalenza omotopica, ma una equivalenza omotopica non è detto che sia un omeomorfismo, questo perchè?
forse perchè se la deformazione di un oggetto conduce ad un oggetto (dominio della funzione inversa) che non ha sufficienti punti per poter ricomporre l'oggetto di partenza bisogna ricorrere ad una deformazione inversa che lo faccia (come ad esempio una palla in un punto, il punto è come se venisse rigonfiato per tornare palla, ma questa operazione non è un omeomorfismo, ma una omotopia)".
"Alexp":
Ultima cosa...ricapitolando allora un omeomorfismo è un'equivalenza omotopica, ma una equivalenza omotopica non è detto che sia un omeomorfismo, questo perchè?
forse perchè se la deformazione di un oggetto conduce ad un oggetto (dominio della funzione inversa) che non ha sufficienti punti per poter ricomporre l'oggetto di partenza bisogna ricorrere ad una deformazione inversa che lo faccia (come ad esempio una palla in un punto, il punto è come se venisse rigonfiato per tornare palla, ma questa operazione non è un omeomorfismo, ma una omotopia).
Il fatto che equivalenza omotopica e omeomorfismo siano cose diverse spero di averlo chiarito nel messaggio precedente. Riguardo a come pensare gli oggetti omotopicamente equivalenti
non so bene cosa dire. E' chiaro che l'idea di fondo e' di ammettere deformazioni - ma per questo bisogna capire bene cosa si intende per deformazione. Dato che i due oggetta $X$ e $Y$ sono spazi
topologici che in generale non hanno nulla da spartire non e' chiaro cosa vuol dire deformare l'uno nell'altro. Cosa diversa e' se uno dei due e' un sottoinsieme dell'altro ( e allora ci sono dei teoremi
come quello a cui accennavo nei post precedenti), Se invece $X$ e $Y$ stanno in un medesimo ambiente $Z$ e sono deformabili uno nell'altro in $Z$, allora questo non basta per l'equivalenza
omotopica (la circonferenza e' deformabile al punto in $\RR^n$ ma non per questo la circonferenza e' omotopicamente equivalente al punto).
Sono questioni delicate e bisogna perderci un po' di tempo per padroneggiarle
io avevo capito che una circonferenza non è deformabile in un punto, perchè non è deformabile dall'interno.....quindi è deformabile, ma non è omotopicamente equivalente perchè non è deformabile dall'interno?
"Alexp":
Si, me ne ero accorto di aver sbagliato, ho confuso le cose.....ma riguardo il mio ultimo post?
te lo riporto:
"ricapitolando allora un omeomorfismo è un'equivalenza omotopica, ma una equivalenza omotopica non è detto che sia un omeomorfismo, questo perchè?
forse perchè se la deformazione di un oggetto conduce ad un oggetto (dominio della funzione inversa) che non ha sufficienti punti per poter ricomporre l'oggetto di partenza bisogna ricorrere ad una deformazione inversa che lo faccia (come ad esempio una palla in un punto, il punto è come se venisse rigonfiato per tornare palla, ma questa operazione non è un omeomorfismo, ma una omotopia)".
Comunque hai ragione sul fatto che nella definizione di equivalenza omotopica c'e' una "ricostruzione" parziale ...
In realta' (ci arrivo ora dopo un po' di riflessione) la definizione di "$X$ e' omotopicamente equivalente a $Y$ " mi pare si possa dire cosi:
esistono $f:X\to Y$ e $g:Y\to X$, continue e tali che $X$ si puo' deformare (dentro se') in $g(f(X))$ e $Y$ si puo' deformare (dentro se') in $f(g(Y))$.
Ti ispira qualcosa ?
Si, io l'ho intesa così!
quindi dici che una deformazione non interna, come una circonferenza in un punto oppure un toro (solo superficie) in una circonferenza, la si può effettuare ma non è una equivalenza omotopica?
quindi dici che una deformazione non interna, come una circonferenza in un punto oppure un toro (solo superficie) in una circonferenza, la si può effettuare ma non è una equivalenza omotopica?
"Alexp":
io avevo capito che una circonferenza non è deformabile in un punto, perchè non è deformabile dall'interno.....quindi è deformabile, ma non è omotopicamente equivalente perchè non è deformabile dall'interno?
Stiamo scrivendo in contemporanea ....
Quello che dici sopra e' nella direzione giusta, ma non credo che basti. A occhio il fatto che $X$ su deformi dall'interno a un suo sottoinsieme $Y$ dovrebbe darti una coppia $f,g$ con
$g$ inversa omotopica destra, ma per avere che $g$ e' anche inversa omotopica sinistra serve qualcos'altro - per esempio che $Y$ rimanga fermo durante la deformazione.
Ripeto che non e' semplice dare criteri generali in termini di deformazioni.
"Alexp":
Si, io l'ho intesa così!
quindi dici che una deformazione non interna, come una circonferenza in un punto oppure un toro (solo superficie) in una circonferenza, la si può effettuare ma non è una equivalenza omotopica?
Appunto.
Ed e' inevitable che sia cosi' dato che nella definizione di equivalenza omotopica si conoscono solo gli insiemi $X$ e $Y$ (circonferenza-punto o toro-circonferenza) e non c'e' un ambiente in cui
far passare le deformazioni. Si possono poi dare delle definizioni piu' complicate che coinvolgono anche un terzo insieme, ma non e'questo il caso.
quindi "sparlando" si potrebbe dire che esistono 3 tipi di deformazioni
una è l'omotopia, una è l'omotopia che è anche omeomorfismo e l'ultima è la deformazione che non è omotopia perchè non avviene da dentro.
però non stiamo considerando l'omotopia che deforma una curva (ad esempio una sinusoide)in un'altra, in questo caso essendo una curva come si fa a parlare di dentro o fuori?
una è l'omotopia, una è l'omotopia che è anche omeomorfismo e l'ultima è la deformazione che non è omotopia perchè non avviene da dentro.
però non stiamo considerando l'omotopia che deforma una curva (ad esempio una sinusoide)in un'altra, in questo caso essendo una curva come si fa a parlare di dentro o fuori?
"Alexp":
quindi "sparlando" si potrebbe dire che esistono 3 tipi di deformazioni
una è l'omotopia, una è l'omotopia che è anche omeomorfismo e l'ultima è la deformazione che non è omotopia perchè non avviene da dentro.
però non stiamo considerando l'omotopia che deforma una curva (ad esempio una sinusoide)in un'altra, in questo caso essendo una curva come si fa a parlare di dentro o fuori?
riguardo ai tre tipi non mi pronuncio ....
riguardo alla deformazione/omotopia tra curve sono sicuro che quando se ne parla e' sempre sottinteso un ambiente (se non non si fa niente) - per esempio se l'ambiente e' il
disco allora tutte le curve sono omotope alla costante; se invece l'ambiente e' la corona circolare, allora ci sono lacci che non si strizzano a un punto, cioe' ci sono curve chiuse non
omotope a una costante
per costante intendi il punto?
ma pensa ad esempio ad un disco in R2 sul quale disegno una curva qualsiasi non chiusa e poi disegno anche una retta e voglio applicare un omotopia che deformi l'una nell'altra, si può? in questo caso si parla comunque di deformazione interna?
ma pensa ad esempio ad un disco in R2 sul quale disegno una curva qualsiasi non chiusa e poi disegno anche una retta e voglio applicare un omotopia che deformi l'una nell'altra, si può? in questo caso si parla comunque di deformazione interna?
"Alexp":
per costante intendi il punto?
ma pensa ad esempio ad un disco in R2 sul quale disegno una curva qualsiasi non chiusa e poi disegno anche una retta e voglio applicare un omotopia che deformi l'una nell'altra, si può? in questo caso si parla comunque di deformazione interna?
- Per costante intendo il punto (cioe' la curva costante)
- Non so se seguo il tuo ragionamento. Chiaramente se la retta e' fuori dal disco non si puo' deformarla all'interno del disco.
Quello che volevo dire prima e' che uno puo' inventarsi le definizioni che vuole e poi vedere cosa gli danno; per quanto riguarda deformazioni di curve (ma in realta' deformazioni di qualunque
cosa) e' essenziale specifiare l'ambente in cui si lavora. Non ha senso dire "tout court" che la circonferenza si deforma a un punto (a meno che non si sottintenda che l'ambiente e' $\RR^n$ - ma questo
di solito non si fa, caso mai se non si dice nulla si pensa a deformazioni dentro l'insieme di partenza: tieni presente che $S^1$ non e' necessariamente un sottoinseime di $\RR^n$).
P.S. Per me deformare $X$ dentro $Y$ in un ambiente $Z$ che contiene sia $X$ che $Y$ vuol dire che esiste una $F:X\times[0,1]\to Z$ continua e tale che
(a) $F(x.0)=x$ per ogni $x$ in $X$
(b) $F(x,1)\in Y$ per ogni $x$ in $X$
Ok, grazie mille!!!
alla prox.
:wink:
alla prox.
:wink:
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