Differenza tra omeomorfismo ed omotopia
Ciao a tutti,
sapreste dirmi qual'è la differenza tra un omeomorfismo ed una omotopia?
Grazie
sapreste dirmi qual'è la differenza tra un omeomorfismo ed una omotopia?
Grazie
Risposte
Omeomorfismo: applicazione $\phi:X to Y$ biettiva, continua e con $\phi^(-1)$ continua tra due spazi topologici $X,Y$.
Omotopia: applicazione $F:X\times [0,1] to Y$ continua (qui $X,Y$ sono spazi topologici e $[0,1]\subset RR$ è dotato della sua topologia naturale) che "deforma" un'applicazione fissata $f:X to Y$ in un'altra $g:X to Y$ pure fissata, in modo che $F(\cdot ,0)=f(\cdot)$ e $F(\cdot ,1)=g(\cdot)$.
Omotopia: applicazione $F:X\times [0,1] to Y$ continua (qui $X,Y$ sono spazi topologici e $[0,1]\subset RR$ è dotato della sua topologia naturale) che "deforma" un'applicazione fissata $f:X to Y$ in un'altra $g:X to Y$ pure fissata, in modo che $F(\cdot ,0)=f(\cdot)$ e $F(\cdot ,1)=g(\cdot)$.
Quella di gugo82 e' la definizione di omotopia tra due funzioni, ma sospetto che la richiesta riguardasse la nozione di omotopia tra spazi.
Detto allora che $f,g:X\to Y$ sono omotope se esiste una $F:X\times[0,1]\to Y$ continua che "le collega" ($F(\cdot,0)=f,F(\cdot,1)=g$) possiamo dire
che $f:X\to Y$ e' un'omotopia tra $X$ e $Y$ se esiste una funzione $f_1=Y\to X$ tale che $f\circ f_1$ e' omotopa all'identita su $Y$ e
$f_1\circ f$ e' omotopa all'identita su $X$. Chiaramente ogni omeomorfismo e' un'omotopia (nel secondo senso) ma non vale il viceversa.
Analogamente $X$ e' omeomorfo (omotopo) a $Y$ se esiste un omeomorfismo (un omotopia) da $X$ in $Y$ ( e dunque viceversa)
Per esempio il disco chiuso e il disco aperto non sono omeomorfi mentre sono omotopi (e sono entrambi omotopi a un singolo punto)
Il disco privato del centro e' omotopo alla circonferenza ma non e' ad essa omeomorfo.
P.S. Credo la la dizione piu' corretta sia equivalenza omotopica/ spazi omotopicamente equivalenti
Detto allora che $f,g:X\to Y$ sono omotope se esiste una $F:X\times[0,1]\to Y$ continua che "le collega" ($F(\cdot,0)=f,F(\cdot,1)=g$) possiamo dire
che $f:X\to Y$ e' un'omotopia tra $X$ e $Y$ se esiste una funzione $f_1=Y\to X$ tale che $f\circ f_1$ e' omotopa all'identita su $Y$ e
$f_1\circ f$ e' omotopa all'identita su $X$. Chiaramente ogni omeomorfismo e' un'omotopia (nel secondo senso) ma non vale il viceversa.
Analogamente $X$ e' omeomorfo (omotopo) a $Y$ se esiste un omeomorfismo (un omotopia) da $X$ in $Y$ ( e dunque viceversa)
Per esempio il disco chiuso e il disco aperto non sono omeomorfi mentre sono omotopi (e sono entrambi omotopi a un singolo punto)
Il disco privato del centro e' omotopo alla circonferenza ma non e' ad essa omeomorfo.
P.S. Credo la la dizione piu' corretta sia equivalenza omotopica/ spazi omotopicamente equivalenti
Grazie mille ad entrambi.....
due cose:
1) ViciousGoblinEnters, perchè il disco privato del centro non è omeomorfo alla circonferenza? non mi è chiaro.
2) il mio dubbio è: se l'omotopia è una applicazione che deforma con continuità un "oggetto" in un'altro e viceversa, allora si può dire che l'omotopia è un'applicazione continua ed invertibile con inversa continua e quindi cosa cambia dall'omeomorfismo?
ad esempio l'applicazione che deforma il toro in una tazza col manico è un'omotopia, ma anche un omeomorfismo.
non capisco la differenza!
due cose:
1) ViciousGoblinEnters, perchè il disco privato del centro non è omeomorfo alla circonferenza? non mi è chiaro.
2) il mio dubbio è: se l'omotopia è una applicazione che deforma con continuità un "oggetto" in un'altro e viceversa, allora si può dire che l'omotopia è un'applicazione continua ed invertibile con inversa continua e quindi cosa cambia dall'omeomorfismo?
ad esempio l'applicazione che deforma il toro in una tazza col manico è un'omotopia, ma anche un omeomorfismo.
non capisco la differenza!
"Alexp":
Grazie mille ad entrambi.....
due cose:
1) ViciousGoblinEnters, perchè il disco privato del centro non è omeomorfo alla circonferenza? non mi è chiaro.
2) il mio dubbio è: se l'omotopia è una applicazione che deforma con continuità un "oggetto" in un'altro e viceversa, allora si può dire che l'omotopia è un'applicazione continua ed invertibile con inversa continua e quindi cosa cambia dall'omeomorfismo?
ad esempio l'applicazione che deforma il toro in una tazza col manico è un'omotopia, ma anche un omeomorfismo.
non capisco la differenza!
1) per esempio la circonferenza e' compatta e il disco bucato no
2) Un'omotopia (nel senso di un'equivalenza omotopica tra due insiemi) non e' necessariamente invertibile. Per esempio puoi vedere che un disco pieno $B$ e' omotopo al solo centro $\{c\}$
(non sono omeomorfi perche il disco ha parte interna non vuota mentre il punto no - stiamo considerando le topologie indotte da $R^N$).
Per vedere che $B$ e' omotopicamete equivalente a $\{c\}$ prendi la mappa $f:B\to \{c\}$ definita da $f(x)=c$ per ogni $x$ di $B$ e la mappa $g:\{c\}\to B$ che manda $c$ in se stesso.
Vediamo che sono "inverse omotopiche" cioe' che $g\circ f$ e' omotopa (nel senso 1) all'identita' su $B$ mentre $f\circ g$ e' omotopa all'identita' su $\{c\}$. La seconda proprieta' e' ovvia in quanto
$f\circ g$ è banalmente l'identita' su $\{c\}$. Rimane da vedere che $h:=g\circ f$ e' omotopa all'identita' su $B$. Ma $h(x)=c$ per ogni $x$ (solo vista come mappa da $B$ in $B$) e allora puoi
definire $F(x,t):=(1-t)\|x\|$ (sto supponendo che $c$ sia l'origine), di modo che effettivamente $F$ trasforma con continuita' l'identita' in $h$.
In effetti se dire che due insiemi sono omotopi se c'e' una applicazione che deforma con continuità uno nell'altro in un'altro e VICEVERSA non e' corretto. Il disco lo deformo nel punto, ma dal punto non torno indietro.
E' sempre vero che se deformo con continuita' un insieme in un suo sottoinsieme e se quest'ultimo rimane fermo durante la deformazione (come nel caso disco/centro) allora i due
insiemi sono omotopicamente equivalenti (si rifa' la stessa dimostrazione, dopo aver esplicitato il significato di "deformo...").
OK, grazie mille!
in pratica la differenza sostanziale è dire che non sempre un'omotopia è invertibile, nel caso lo fosse allora è un omeomorfismo, giusto?
Un'ultima cosa.....un toro è omeomorfo al prodotto di due circonferenze $S^1 x S^1$, nel senso che il toro piò essere "costruito" (passami il termine) da una circonferenza che si sposta lungo l'altra?
se si, allora un omeomorfismo non è sempre inteso come un'applicazione che manda uno spazio in un'altro, in questo caso non possono due circonferenze diventare un toro, questo è possibile solo considerando lo spostamento di una lungo l'altra.
in pratica la differenza sostanziale è dire che non sempre un'omotopia è invertibile, nel caso lo fosse allora è un omeomorfismo, giusto?
Un'ultima cosa.....un toro è omeomorfo al prodotto di due circonferenze $S^1 x S^1$, nel senso che il toro piò essere "costruito" (passami il termine) da una circonferenza che si sposta lungo l'altra?
se si, allora un omeomorfismo non è sempre inteso come un'applicazione che manda uno spazio in un'altro, in questo caso non possono due circonferenze diventare un toro, questo è possibile solo considerando lo spostamento di una lungo l'altra.
"Alexp":
OK, grazie mille!
in pratica la differenza sostanziale è dire che non sempre un'omotopia è invertibile, nel caso lo fosse allora è un omeomorfismo, giusto?
Un'ultima cosa.....un toro è omeomorfo al prodotto di due circonferenze $S^1 x S^1$, nel senso che il toro piò essere "costruito" (passami il termine) da una circonferenza che si sposta lungo l'altra?
se si, allora un omeomorfismo non è sempre inteso come un'applicazione che manda uno spazio in un'altro, in questo caso non possono due circonferenze diventare un toro, questo è possibile solo considerando lo spostamento di una lungo l'altra.
Se fosse invertibile e l'inversa fosse continua (il che non e' automatico). Comunque l'omotopia e' una nozione decisamente piu' debole dell'omeomorfismo - forse puoi pensare a spazi omotopi come oggetti aventi medesimo "scheletro"
(ma non prendermi topppo sul serio).
Ho l' impressione che tu non abbia chiaro il significato di $S^1\times S^1$, che non e' l'unione di due circonferenze come sembrerebbe dal tuo discorso.
Dato che $S^1\times S^1=\{(x,y) : x\in S^1,y\in S^1\}$ allora $S^1\times S^1$ e' proprio una famiglia di circonferenze che "scorre" su una circonferenza:
infatti $S^1\times S^1=\bigcup_{x\in S^1}\{x\}\times S^1$ e ogni $\{x\}\times S^1$ e' una circonferenza "applicata" nel punto $x$ (che a sua volta varia in un'altra $S^1$)
Si infatti, grazie mille!!! intendevo proprio questo una famiglia di circonferenze che scorre su una circonferenza.
Ultima cosa..........
il toro è anche omotopo alla circonferenza "a" e alla circonferenza "b" perchè lo si può "schiacciare" e quindi deformarlo in una circonferenza, ma non lo si può deformare nel laccio "ab" non è possibile, quindi "ab" è il gruppo fondamentale", ma non è omotopo al toro, giusto?
il toro è anche omotopo alla circonferenza "a" e alla circonferenza "b" perchè lo si può "schiacciare" e quindi deformarlo in una circonferenza, ma non lo si può deformare nel laccio "ab" non è possibile, quindi "ab" è il gruppo fondamentale", ma non è omotopo al toro, giusto?
help me!
Il toro non e' omotopo a una circonferenza. La deformazione che schiaccia il toro nella circonferenza NON ha inversa omotopica.
Riguardo ai gruppi purtoppo non mi ricordo bene la terminologia, comunque se due spazi sono omotopicamente equivalenti hanno lo stesso gruppo
fondamentale e la cosa non vale tra toro e circoferenza (il gruppo del toro e' $\ZZ\times\ZZ$ mentre quello della circonferenza e' $\ZZ$ -
segue da un teorema sui prodotti e probabilmente e' cosi' in effetti che si dimostra che toro e circonferenza non sono omotopicamente equivalenti)
Riguardo ai gruppi purtoppo non mi ricordo bene la terminologia, comunque se due spazi sono omotopicamente equivalenti hanno lo stesso gruppo
fondamentale e la cosa non vale tra toro e circoferenza (il gruppo del toro e' $\ZZ\times\ZZ$ mentre quello della circonferenza e' $\ZZ$ -
segue da un teorema sui prodotti e probabilmente e' cosi' in effetti che si dimostra che toro e circonferenza non sono omotopicamente equivalenti)
Ok, ma non capisco il discorso sull'inversa omotopica, tu mi hai fatto un esempio che il disco è omotopo ad un punto, ma il punto non lo è ad un cerchio, quindi il fatto che il toro si possa schiacciare e diventare un cerchio non è un'omotopia?
Il mio discorso e' stato frainteso. Il disco e il punto sono omotopi, quindi il disco e' omotopo al punto e il punto e' omotopo al disco.
Questa relazione (quindi riflessiva) e' conseguenza del fatto che il disco si puo' "deformare" nel punto TENENDO FERMO il punto,
e cio' lo si puo' fare DENTRO il disco (voleva essere un esempio di oggetti omotopi ma non omeomorfi). Sapere solo che $A$ si puo' deformare a $B$
(dentro un terzo ambiente che e' $\RR^n$) non dice che $A$ e' omotopicamente equivalente a $B$.
Ti ripeto le definizioni (quelle che so io)
(a) due mappe $f$ e $g$ tra $X$ e $Y$ spazi toplogici si dicono omotope se esiste $F:X\times [0,1]\to Y$ continua tale che $F(\cdot,0)=f$ $F(\cdot,1)=g$.
(b) se $f:X\to Y$ e $g:Y\to X$ si dice che $g$ e' un' inversa omotopica destra per $f$ se $f\circ g$ e' omotopa all'identita' su $Y$
(c) se $f:X\to Y$ e $g:Y\to X$ si dice che $g$ e' un' inversa omotopica sinistra per $f$ se $g\circ f$ e' omotopa all'identita' su $X$
(d) se $f:X\to Y$ si dice che $f$ e' un'equivalenza omotopica se esiste $g$ che fa da inversa omotopica destra e sinistra per $f$
(non mi ricordo se bastino in'inversa destra e una sinistra non necessariamente coincidenti)
(e) si dice che $X$ e' omotopicamente equivalente a $Y$ se esiste un'equivalenza omotopica tra $X$ e $Y$
Si dimostra che se $X$ e $Y$ sono omotopicamente equivalenti, allora hanno lo stesso gruppo fondamentale e quindi il toro
non e' omotopicamente equivalente alla circonferenza (la circonferenza e' omeomorfa a $S^1$, il toro e' omeomorfo a $S^1\times S^1$ e
- per un teorema - il gruppo di un prodotto e' il prodoto dei gruppi).
Questa relazione (quindi riflessiva) e' conseguenza del fatto che il disco si puo' "deformare" nel punto TENENDO FERMO il punto,
e cio' lo si puo' fare DENTRO il disco (voleva essere un esempio di oggetti omotopi ma non omeomorfi). Sapere solo che $A$ si puo' deformare a $B$
(dentro un terzo ambiente che e' $\RR^n$) non dice che $A$ e' omotopicamente equivalente a $B$.
Ti ripeto le definizioni (quelle che so io)
(a) due mappe $f$ e $g$ tra $X$ e $Y$ spazi toplogici si dicono omotope se esiste $F:X\times [0,1]\to Y$ continua tale che $F(\cdot,0)=f$ $F(\cdot,1)=g$.
(b) se $f:X\to Y$ e $g:Y\to X$ si dice che $g$ e' un' inversa omotopica destra per $f$ se $f\circ g$ e' omotopa all'identita' su $Y$
(c) se $f:X\to Y$ e $g:Y\to X$ si dice che $g$ e' un' inversa omotopica sinistra per $f$ se $g\circ f$ e' omotopa all'identita' su $X$
(d) se $f:X\to Y$ si dice che $f$ e' un'equivalenza omotopica se esiste $g$ che fa da inversa omotopica destra e sinistra per $f$
(non mi ricordo se bastino in'inversa destra e una sinistra non necessariamente coincidenti)
(e) si dice che $X$ e' omotopicamente equivalente a $Y$ se esiste un'equivalenza omotopica tra $X$ e $Y$
Si dimostra che se $X$ e $Y$ sono omotopicamente equivalenti, allora hanno lo stesso gruppo fondamentale e quindi il toro
non e' omotopicamente equivalente alla circonferenza (la circonferenza e' omeomorfa a $S^1$, il toro e' omeomorfo a $S^1\times S^1$ e
- per un teorema - il gruppo di un prodotto e' il prodoto dei gruppi).
Grazie ancora ViciousGoblinEnters per la disponibilità,
le definizioni che hai scritto sono sicuramente corrette, ma la cosa che non riesco a capire è a livello intuitivo, perchè ad esempio una palla può essere deformata in un punto e viceversa, un disco senza il centro può essere deformato in una circonferenza e viceversa, mentre un toro non può essere deformato in una circonferenza? se io immagino di deformare il toro "schiacciandolo" dall'alto, ottengo un disco forato, a quel punto il disco forato può essere deformato in una circonferenza!
non capisco quali siano le regole o gli accorgimenti che bisogna avere per capire "ad occhio" se un "oggetto" può essere deformato in un'altro oppure no, e allo stesso tempo capire se è un'equivalenza omotopica, oppure solo una omotopia.
le definizioni che hai scritto sono sicuramente corrette, ma la cosa che non riesco a capire è a livello intuitivo, perchè ad esempio una palla può essere deformata in un punto e viceversa, un disco senza il centro può essere deformato in una circonferenza e viceversa, mentre un toro non può essere deformato in una circonferenza? se io immagino di deformare il toro "schiacciandolo" dall'alto, ottengo un disco forato, a quel punto il disco forato può essere deformato in una circonferenza!
non capisco quali siano le regole o gli accorgimenti che bisogna avere per capire "ad occhio" se un "oggetto" può essere deformato in un'altro oppure no, e allo stesso tempo capire se è un'equivalenza omotopica, oppure solo una omotopia.
"Alexp":
Grazie ancora ViciousGoblinEnters per la disponibilità,
le definizioni che hai scritto sono sicuramente corrette, ma la cosa che non riesco a capire è a livello intuitivo, perchè ad esempio una palla può essere deformata in un punto e viceversa, un disco senza il centro può essere deformato in una circonferenza e viceversa, mentre un toro non può essere deformato in una circonferenza? se io immagino di deformare il toro "schiacciandolo" dall'alto, ottengo un disco forato, a quel punto il disco forato può essere deformato in una circonferenza!
non capisco quali siano le regole o gli accorgimenti che bisogna avere per capire "ad occhio" se un "oggetto" può essere deformato in un'altro oppure no, e allo stesso tempo capire se è un'equivalenza omotopica, oppure solo una omotopia.
In effetti la questione non e' evidente al primo colpo. Rimarco innanzitutto che il solo fatto di deformare un oggetto in un altro non basta a dire che sono omotopi. Un esempio piu ' semplice di toro<-->circonferenza
e' circonferenza <--> punto. Come ho gia' detto il disco e' omotopo all centro, ma la circonferenza no (per quanto anche la circonferenza, essendo un sottoinsieme del disco, si possa buttare nel punto - e' un fatto importante qui che la
deformazione del disco nel punto avvenga dentro il disco stesso, ma non dentro la circonferenza).
Il fatto che circonferenza e punto (o disco) siano "omotopicamente diversi" mi pare abbastanza chiaro se pensi che nella circonferenza non puoi "contrarre" un laccio a un punto (intendo rimanaedo dentro la circonferenza).
Riguardo alle deformazioni ti ripeto formalmente il risultato a cui accennavo, insistendo sul fatto che non puoi in generale rilassare le ipotesi. Nei casi piu' generali devi tornare alle definizioni.
Se $Y\subset X$ e se esiste $F:X\times[0,1]\to X$ continua tale che
a) $F(x,0)=x \forall x\in X$;
b) $F(x,t)=x \forall x\in Y \forall t\in [0,1]$;
c) $F(x,1)\in Y \forall x\in X$
(si usa dire che $Y$ \`e un retratto di deformazione di $X$) allora $X$ e' omotopicamente equivalnte a $Y$. La dimostrazione e' facile e l'avevo accennata nei post precedenti.
Credo che per familiarizzare con questi concetti l'unica strada sia vedere vari esempi e provare ad applicare le definizioni.
PS Il problema dello schiacciare il toro nella corona corcolare e' che la deformazione non viaggia all'interno del toro - tutte queste definizioni "conoscono" solo gli spazi $X$ e $Y$
Ok,
mentre per il discorso sfera<-->punto come avviene la deformazione dall'interno, se all'interno la sfera è vuota?
mentre per il discorso sfera<-->punto come avviene la deformazione dall'interno, se all'interno la sfera è vuota?
"Alexp":
Ok,
mentre per il discorso sfera<-->punto come avviene la deformazione dall'interno, se all'interno la sfera è vuota?
Ooops - quando scrivevo disco intendevo il disco pieno (se no avrei scritto sfera) Temo che ci sia stato un big misundestanding
La sfera per l'appunto non e' omotopa al punto
Scusa, ma che differenza c'è tra sfera e palla? perchè io ho trovato su wikipedia che la palla è omotopicamente equivalente ad un punto.
"Alexp":
Scusa, ma che differenza c'è tra sfera e palla? perchè io ho trovato su wikipedia che la palla è omotopicamente equivalente ad un punto.
La sfera invece no (IN SE STESSA bada) - ora devo staccare, ci risentiamo nel pomeriggio (se vuoi)
Ok appena ti è possibile rispondimi....
la mia domanda è: su wikipedia la palla è intesa come sinonimo di sfera, ma in realtà non è così? per palla si intende forse una sfera "piena"?
la mia domanda è: su wikipedia la palla è intesa come sinonimo di sfera, ma in realtà non è così? per palla si intende forse una sfera "piena"?
Un omeomorfismo è un'applicazione lineare biunivoca e bicontinua. Una omotopia è qualcosa di diverso e più complicato. Sarebbe più pertinente la domanda qual'è la differenza fra omeomorfismo e diffeomorfismo...
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