Differenza tra indipendenza lineare e geometrica?
Ciao ragazzi, come da titolo vorrei capire la differenza tra indipendenza lineare e indipendenza geometrica.
In particolare, quando un insieme di punti \(\displaystyle (A,B,C,D) \) sono geometricamente indipendenti?
È vero inoltre che i punti \(\displaystyle (A,B,C,D) \) sono geometricamente indipendenti se
\(\displaystyle Dim( Af (A,B,C,D)) \) è uguale a \(\displaystyle rank(A,B,C,D) \)?
Grazie mille!
In particolare, quando un insieme di punti \(\displaystyle (A,B,C,D) \) sono geometricamente indipendenti?
È vero inoltre che i punti \(\displaystyle (A,B,C,D) \) sono geometricamente indipendenti se
\(\displaystyle Dim( Af (A,B,C,D)) \) è uguale a \(\displaystyle rank(A,B,C,D) \)?
Grazie mille!
Risposte
Ciao.
Da quello che ricordo io (ma ho un bel po' di ruggine nel cervello, dati gli anni trascorsi), se per "indipendenza geometrica" si fa riferimento a quella affine, i punti $A,B,C,D$ dovrebbero essere affinemente indipendenti se i vettori $vec(AB),vec(AC),vec(AD)$ sono linearmente indipendenti.
Questi tre vettori sono stati costruiti prendendo il punto $A$ come punto iniziale, ma il discorso dovrebbe rimanere valido anche prendendo come punto iniziale un qualsiasi altro punto tra quelli dati.
Sbaglio?
Saluti.
Da quello che ricordo io (ma ho un bel po' di ruggine nel cervello, dati gli anni trascorsi), se per "indipendenza geometrica" si fa riferimento a quella affine, i punti $A,B,C,D$ dovrebbero essere affinemente indipendenti se i vettori $vec(AB),vec(AC),vec(AD)$ sono linearmente indipendenti.
Questi tre vettori sono stati costruiti prendendo il punto $A$ come punto iniziale, ma il discorso dovrebbe rimanere valido anche prendendo come punto iniziale un qualsiasi altro punto tra quelli dati.
Sbaglio?
Saluti.
Grazie innanzitutto per la risposta!
Ho provato a seguire il tuo procedimento; i punti risultano geometricamente dipendenti,perchè un vettore si semplifica. In particolare:
\(\displaystyle A = ( 1,1, 1, 0) \)
\(\displaystyle B= ( 0, 1, 1, 1) \)
\(\displaystyle C= ( 1 ,0 ,0 ,-1) \)
\(\displaystyle D= ( 1 ,2, 2, 1 ) \)
Ho preso \(\displaystyle A \) come punto iniziale,ma poi ho provato anche con \(\displaystyle B \) ma comunque il risultato è lo stesso: si semplifica un vettore.
Detto ciò, quindi la relazione che ho scritto sopra, cioè
\(\displaystyle " \) se \(\displaystyle Dim( Af ( A,B,C,D) \) \(\displaystyle = \) \(\displaystyle rank(A,B,C,D) \) \(\displaystyle --> \) I punti sono geometricamente indipendenti \(\displaystyle " \)
è sbagliata? Perchè nel mio esercizio le due dimensioni sono uguali però i punti escono geometricamente indipendenti..
Ho provato a seguire il tuo procedimento; i punti risultano geometricamente dipendenti,perchè un vettore si semplifica. In particolare:
\(\displaystyle A = ( 1,1, 1, 0) \)
\(\displaystyle B= ( 0, 1, 1, 1) \)
\(\displaystyle C= ( 1 ,0 ,0 ,-1) \)
\(\displaystyle D= ( 1 ,2, 2, 1 ) \)
Ho preso \(\displaystyle A \) come punto iniziale,ma poi ho provato anche con \(\displaystyle B \) ma comunque il risultato è lo stesso: si semplifica un vettore.
Detto ciò, quindi la relazione che ho scritto sopra, cioè
\(\displaystyle " \) se \(\displaystyle Dim( Af ( A,B,C,D) \) \(\displaystyle = \) \(\displaystyle rank(A,B,C,D) \) \(\displaystyle --> \) I punti sono geometricamente indipendenti \(\displaystyle " \)
è sbagliata? Perchè nel mio esercizio le due dimensioni sono uguali però i punti escono geometricamente indipendenti..
Ciao.
Effettivamente, avendo ricavato
$vec(AB)=(-1,0,0,1)$
$vec(AC)=(0,-1,-1,-1)$
$vec(AD)=(0,1,1,1)$
è evidente che, siccome $vec(AC)=-vec(AD)$, non si può avere l'indipendenza lineare dei tre vettori.
Per quanto riguarda il resto, non mi è chiara la simbologia usata nella relazione da te scritta:
\( \displaystyle Dim( Af ( A,B,C,D) \) \( \displaystyle = \) \( \displaystyle rank(A,B,C,D) \)
Probabilmente con $rank(A,B,C,D)$ intendi il rango della matrice "costruita" con i punti dati
$((1,1,1,0),(0,1,1,1),(1,0,0,-1),(1,2,2,1))$
dico (anzi, scrivo) bene?
Invece non comprendo proprio il significato della notazione $Dim( Af ( A,B,C,D))$, sarà per la ruggine di cui parlavo prima; se mi darai la spiegazione, forse potrò aiutarti.
Saluti.
Effettivamente, avendo ricavato
$vec(AB)=(-1,0,0,1)$
$vec(AC)=(0,-1,-1,-1)$
$vec(AD)=(0,1,1,1)$
è evidente che, siccome $vec(AC)=-vec(AD)$, non si può avere l'indipendenza lineare dei tre vettori.
Per quanto riguarda il resto, non mi è chiara la simbologia usata nella relazione da te scritta:
\( \displaystyle Dim( Af ( A,B,C,D) \) \( \displaystyle = \) \( \displaystyle rank(A,B,C,D) \)
Probabilmente con $rank(A,B,C,D)$ intendi il rango della matrice "costruita" con i punti dati
$((1,1,1,0),(0,1,1,1),(1,0,0,-1),(1,2,2,1))$
dico (anzi, scrivo) bene?
Invece non comprendo proprio il significato della notazione $Dim( Af ( A,B,C,D))$, sarà per la ruggine di cui parlavo prima; se mi darai la spiegazione, forse potrò aiutarti.
Saluti.
è evidente che, siccome AC−→−=−AD−→−, non si può avere l'indipendenza lineare dei tre vettori.
e quindi i punti sono geometricamente dipendenti,giusto?
Probabilmente con rank(A,B,C,D) intendi il rango della matrice "costruita" con i punti dati
Esattamente. Se si riduce a scala otteniamo 2 vettori indipendenti,quindi \(\displaystyle rank(A,B,C,D) = 2 \)
Per quanto riguarda \(\displaystyle Dim( Af(A,B,C,D)) \), intendo la dimensione del sottospazio affine.
Cioè \(\displaystyle Af(A,B,C,D) = A + ( (B-A) ,( C-A ), (D-A) ) \) , con A quindi punto d'appoggio.
La dimensione di questo sottospazio,con i calcoli che ho eseguito, dovrebbe essere 2.
Però,a questo punto sarebbe in contraddizione con la formula che ho scritto prima,perchè avrei
la dimensione del sottospazio \(\displaystyle (A,B,C,D) \) uguale alla dimensione del sottospazio affine \(\displaystyle Af(A,B,C,D) \) ma allo stesso tempo i punti \(\displaystyle A,B,C,D \) sono geometricamente dipendenti.
Come mai? Non escludo che potrebbe anche essere errata la formula,anzi magari è molto probabile!
"ddr1995":è evidente che, siccome AC−→−=−AD−→−, non si può avere l'indipendenza lineare dei tre vettori.
e quindi i punti sono geometricamente dipendenti,giusto?
Certamente.
I tre vettori $vec(AB),vec(AC),vec(AD)$ generano uno spazio di dimensione pari a due.
"ddr1995":
La dimensione di questo sottospazio,con i calcoli che ho eseguito, dovrebbe essere 2.
Però,a questo punto sarebbe in contraddizione con la formula che ho scritto prima,perchè avrei
la dimensione del sottospazio \( \displaystyle (A,B,C,D) \) uguale alla dimensione del sottospazio affine \( \displaystyle Af(A,B,C,D) \) ma allo stesso tempo i punti \( \displaystyle A,B,C,D \) sono geometricamente dipendenti.
Come mai? Non escludo che potrebbe anche essere errata la formula,anzi magari è molto probabile!
Beh, è giusto che i punti siano geometricamente dipendenti; in caso contrario avresti avuto dimensione pari a tre.
Spero di aver "centrato il nocciolo" del tuo problema.
Saluti.
Va bene,questo allora vuol dire che la formula
\(\displaystyle "Se \) \(\displaystyle rank(A,B,C,D) = Dim( Af(A,B,C,D)) \) \(\displaystyle ---> \) I punti sono geometricamente indipendenti. \(\displaystyle " \)
È sbagliata!
Confermi?
\(\displaystyle "Se \) \(\displaystyle rank(A,B,C,D) = Dim( Af(A,B,C,D)) \) \(\displaystyle ---> \) I punti sono geometricamente indipendenti. \(\displaystyle " \)
È sbagliata!
Confermi?
Credo che tu abbia ragione.
Probabilmente l'uguaglianza è vera, ma ciò non dovrebbe garantire l'indipendenza geometrica dei punti.
Spero di non aver sbagliato a causa della ruggine.
Saluti.
Probabilmente l'uguaglianza è vera, ma ciò non dovrebbe garantire l'indipendenza geometrica dei punti.
Spero di non aver sbagliato a causa della ruggine.
Saluti.
Ok perfetto!
Ti ringrazio mille Alessandro,sei stato disponibilissimo!
Ti ringrazio mille Alessandro,sei stato disponibilissimo!
Di nulla, spero solamente di non aver scritto qualcosa di inesatto.
Saluti.
Saluti.
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