Differenza tra componente ortogonale e proiezione ortogonale

[duff18-votailprof]

Conosco le formule, so che il primo è uno scalare e il secondo è un vettore, ma non riesco a capire quale differenza tra componente e proiezione.
Se gentilmente potreste spiegarmela ve ne sarei molto grato!

[gugo82]

Esempio.

Prendiamo [tex]$v=(3,-2) \in \mathbb{R}^2$[/tex] e consideriamo la base canonica [tex]$e^1:=(1,0),e^2:=(0,1)$[/tex].
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
noaxes();
text([1,0],"e1",above);
text([0,1],"e2",left);
text([3,-2],"v",belowleft);
strokewidth=2;
marker="arrow";
line([0,0],[3,-2]);
stroke="red";
line([0,0],[1,0]);
line([0,0],[0,1]);[/asvg]
Le componenti di [tex]$v$[/tex] lungo [tex]$e^1$[/tex] ed [tex]$e^2$[/tex] sono rispettivamente [tex]$v_1=\langle v,e^1\rangle =3$[/tex] e [tex]$v_2=\langle v,e^2\rangle =-2$[/tex] ([tex]$\langle \cdot ,\cdot \rangle$[/tex] è il prodotto scalare di [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex]); invece le proiezioni di [tex]$v$[/tex] lungo [tex]$e^1$[/tex] ed [tex]$e^2$[/tex] sono [tex]$\text{proj}_{e^1} v:=\langle v,e^1\rangle \ e^1 =v_1\ e^1=3\ e^1$[/tex] e[tex]$\text{proj}_{e^2} v:=\langle v,e^2\rangle \ e^2=v_2\ e^2 =-2\ e^2$[/tex].
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
noaxes();
text([1,0],"e1",above);
text([0,1],"e2",left);
text([3,-2],"v",belowleft);
text([3,0],"v1 e1",above);
text([0,-2],"v2 e2",left);
strokewidth=2;
marker="arrow";
line([0,0],[3,-2]);
stroke="red";
line([0,0],[1,0]);
line([0,0],[0,1]);
stroke="dodgerblue";
line([0,0],[3,0]);
line([0,0],[0,-2]);
marker="none";
strokewidth=0.5;
line([3,-2],[3,0]);
line([3,-2],[0,-2]);[/asvg]
Le componenti sono numeri e rappresentano la "lunghezza con segno" delle proiezioni; il segno è da scegliersi positivo se i vettori [tex]$e^i$[/tex] e [tex]$\text{proj}_{e^i} v$[/tex] hanno lo stesso verso, negativo altrimenti.
Mentre le proiezioni sono vettori tali che la loro somma sia uguale al vettore di partenza.

[duff18-votailprof]

Ok grazie,
se non ho capito male sono due modi diversi di dire la stessa cosa
dato che sia le proiezioni che le componenti ci danno modulo verso e direzione, o sbaglio?

[gugo82]

"duff18":se non ho capito male sono due modi diversi di dire la stessa cosa dato che sia le proiezioni che le componenti ci danno modulo verso e direzione, o sbaglio?

"Modulo, direzione e verso" di chi?

[duff18-votailprof]

Della proiezione ortogonale, intendo dire che anche la componente essendo un segmento orientato è dotata di segno e quindi indica il verso, mentre la sua direzione sarà quella del vettore rispetto al quale viene determinata componente