Differenza di compatti

[ficus2002]

Siano $K_1,K_2\subseteq RR^n$ due compatti. Dimostrare che
$K_1-K_2:={x_1-x_2:x_1\in K_1,x_2\in K_2}$
è compatto.

[Chevtchenko]

"ficus2002":Siano $K_1,K_2\subseteq RR^n$ due compatti. Dimostrare che
$K_1-K_2:={x_1-x_2:x_1\in K_1,x_2\in K_2}$
è compatto.

Sia ${x_n}$ una successione in $K_1 - K_2$; allora esistono una successione ${y_n}$ in $K_1$ ed una ${z_n}$ in $K_2$ tali che $x_n = y_n - z_n$ per ogni $n$. Siccome $K_1$ e' compatto e ${y_n} \subseteq K_1$, esiste una successione ${y_{n_k}}$ estratta da ${y_n}$ e convergente. Siccome $K_2$ e' compatto e ${z_{n_k}} \subseteq K_2$, esiste una successione ${z_{n_{k_h}}}$ estratta da ${z_{n_k}}$ e convergente. Ovviamente la successione ${x_{n_{k_h}}}$ e' estratta da ${x_n}$ e converge, onde segue che $K_1 - K_2$ e' compatto.

[Chevtchenko]

Ovviamente una banale induzione ci permette di provare che ogni combinazione lineare di compatti e' un compatto...

[Luca.Lussardi]

Non basta osservare che la funzione differenza e' continua? Dunque manda compatti in compatti...

[Chevtchenko]

"Luca.Lussardi":Non basta osservare che la funzione differenza e' continua? Dunque manda compatti in compatti...

Effettivamente...