Diffeomorfismo

[miuemia]

sia $f:RR^4-> RR^4$ definita come $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-x_2,x_1,-x_4,x_3)$ ho mostrato che ristretta ad $S^3$ è un diffeomorfismo ma poi mi si chiede:
dato $\bar x\in S^3$ ed $f(\bar x)$ si consideri la circonferenza massima (di centro l'origine) di $S^3$ individuata da questi due punti.
dimostrare che è invariante rispetto al diffeomorfismo $f$ e dimostrare che l'insieme di tali circonferenze costituisce una fibrazione di $S^3$.

cm faccio a far vedere che è invariante? non riesco a capire che cordinate ha un punto generico di quella circonferenza.

grazier a tutti

[alberto.cena]

La circonferenza che consideri è l'intersezione di $S^3$ con il piano generato da $O \bar x$ e $O f(\bar x)$.
Sia $P$ un punto di questo piano con eq. parametrica
$P = \lambda \bar x + \mu f(\bar x)$,
l'immagine di $P$ appartiene ancora al piano avendo eq.
$f(P) = -\mu \bar x + \lambda f(\bar x)$

[miuemia]

perchè ottengo quell'espressione per $f(P)$???

[alberto.cena]

$P=(\lambda x_1 - \mu x_2, \lambda x_2 + \mu x_1, \lambda x_3 - \mu x_4 , \lambda x_4 + \mu x_3)$
applicando $f$:
$f(P)=(-\lambda x_2 - \mu x_1, \lambda x_1 - \mu x_2, - \lambda x_4 - \mu x_3 , \lambda x_3 - \mu x_4 )= \lambda f(\bar x) - \mu \bar x$

[miuemia]

grazie mille ma mi sorge un dubbio... scusa ma cmpuò un piano tagliare su $S^3$ una circonferenza? cioè io so che un iperpiano taglia su $S^n$ una circonferenza

[alberto.cena]

L'intersezione di un iperpiano con $S^n$ è una ipersfera di $\mathbb R^{n}$.
Pensa all'intersezione di $S^n:x_1^2 + ... + x_{n+1}^2 =1$ con l'iperpiano $x_{n+1}=0$
L'intersezione di $x_1^2 + ... + x_{n+1}^2 =1$ con il piano $x_3= ... = x_{n+1}=0$ è una circonferenza.

Molti anni fa Bankoff tenne una conferenza a Torino. Mi ricordo che sorprese il pubblico gonfiando improvvisamente un palloncino per poi lasciarlo sgonfiare. Ci rassicuro' immediatamente: era una ipersfera del mondo quadridimensionale che stava attraversando il nostro mondo stretto nelle sue tre dimensioni.