Diffeomorfismi
Ciao a tutti, sto cercando di risolvere un esercizio di geometria differenziale e potrei essere vicina alla soluzione ma non riesco a trovare un diffeomorfismo tra l'insieme $ {(x,y,z) : x^2 + y^2 + z^2 = c}$ con $ c>0$ e il cilindro rappresentato dall'insieme $ {(u,v,w) : u^2 + v^2 =1 }$. Non posso mandare $z$ in $ /sqrt (1-c)$ perchè è negativo, giusto? Potreste aiutarmi? Con $ c=0$ e $c<0$ ce l'ho fatta, eppure questo mi sembrava il più semplice ... Grazie a tutti!!
Risposte
Non vorrei dire cavolate, ma c'è un problema (correggimi se sbaglio).
Immagino che i due insiemi siano entrambi sottoinsiemi di $RR^3$.
Vuoi trovare un diffeomorfismo fra il primo insieme, che è la superficie sferica di centro l'origine e raggio $sqrt(c)$, e il cilindro.
Se esistesse un tale diffeomorfismo, sarebbe anche un omeomorfismo. In particolare, la superficie sferica e il cilindro avrebbero lo stesso gruppo fondamentale. Ma il gruppo fondamentale della superficie sferica è banale, mentre il gruppo fondamentale del cilindro è $ZZ$. Quindi, secondo me, un tale diffeomorfismo non esiste.
C'è qualche falla nel mio ragionamento?
Con $c=0$ il primo insieme è ridotto ad un solo punto. Qual è il diffeomorfismo che hai trovato??
Immagino che i due insiemi siano entrambi sottoinsiemi di $RR^3$.
Vuoi trovare un diffeomorfismo fra il primo insieme, che è la superficie sferica di centro l'origine e raggio $sqrt(c)$, e il cilindro.
Se esistesse un tale diffeomorfismo, sarebbe anche un omeomorfismo. In particolare, la superficie sferica e il cilindro avrebbero lo stesso gruppo fondamentale. Ma il gruppo fondamentale della superficie sferica è banale, mentre il gruppo fondamentale del cilindro è $ZZ$. Quindi, secondo me, un tale diffeomorfismo non esiste.
C'è qualche falla nel mio ragionamento?
Con $c=0$ il primo insieme è ridotto ad un solo punto. Qual è il diffeomorfismo che hai trovato??
Il problema diceva: Data la funzione $f (x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2 $mostrare che la superficie di livello c :
$ S= { (x,y,z) : f(x,y,z) = c}$
non è una varietà per c=0, è diffeomorfa a due copie di $ R^2$ per $c<0$ ed è diffeomorfa al cilindro ${(u,v,w): u^2 + v^2 =1}$ per $c>0$.
Io ho visto che non è una varietà per c=0 tramite il teorema dei valori regolari poichè in 0 si annulla lo jacobiano, per $c <0$ ho riscritto z in funzione di x ed y ed una volta con il segno + una volta con il segno - ho trovato i diffeomorfismi ad $ R^2$ giusto? ora che devo fare per $c>0$? Grazie!!
$ S= { (x,y,z) : f(x,y,z) = c}$
non è una varietà per c=0, è diffeomorfa a due copie di $ R^2$ per $c<0$ ed è diffeomorfa al cilindro ${(u,v,w): u^2 + v^2 =1}$ per $c>0$.
Io ho visto che non è una varietà per c=0 tramite il teorema dei valori regolari poichè in 0 si annulla lo jacobiano, per $c <0$ ho riscritto z in funzione di x ed y ed una volta con il segno + una volta con il segno - ho trovato i diffeomorfismi ad $ R^2$ giusto? ora che devo fare per $c>0$? Grazie!!
Sinceramente il ragionamento di "cirasa" mi sembra corretto, un diffeomorfismo è anche un omeomorfismo (ovviamente il vice-versa non vale) e quindi due superfici omeomorfe sono anche equivalenti omotopicamente (anche qui il vice-versa non vale), ma questo non può essere vero tra sfera e cilindro in quanto hanno gruppo fondamentale diverso.
Si ma il problema dice che esiste tale diffeomorfismo e che è semplice da trovare.. dov'è che sbaglio? 
Ok,
tu inizialmente, nel primo post, hai scritto una funzione diversa...avevi scritto l'equazione di una sfera, ma in realtà la funzione corretta dell'esercizio è
$f (x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2 $ e questa per $c>0$ risulta avere una "apertura", infatti i valori delle variabili $x$ ed $y$ devono essere tali da garantire che la somma dei loro quadrati sia sempre maggiore o uguale a $c$....questa "apertura", che ovviamente dipende dalla $c$ scelta, permette alla funzione di avere stesso gruppo fondamentale del cilindro.
tu inizialmente, nel primo post, hai scritto una funzione diversa...avevi scritto l'equazione di una sfera, ma in realtà la funzione corretta dell'esercizio è
$f (x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2 $ e questa per $c>0$ risulta avere una "apertura", infatti i valori delle variabili $x$ ed $y$ devono essere tali da garantire che la somma dei loro quadrati sia sempre maggiore o uguale a $c$....questa "apertura", che ovviamente dipende dalla $c$ scelta, permette alla funzione di avere stesso gruppo fondamentale del cilindro.
Suggerimento per Nullissi:
L'equazione $x^2+y^2-z^2-c=0$ per $c>0$ è una quadrica ben nota. E' un iperboloide iperbolico con centro nell'origine e assi coincidenti con i tre assi cartesiani.
Prova a visualizzarla. Se non te la ricordi, cerca in rete una sua immagine.
Vedrai che ti viene subito un'idea!
Io non ho provato ma ho un'idea in mente. Se ci sono problemi, chiedi pure e te la illustro.
L'equazione $x^2+y^2-z^2-c=0$ per $c>0$ è una quadrica ben nota. E' un iperboloide iperbolico con centro nell'origine e assi coincidenti con i tre assi cartesiani.
Prova a visualizzarla. Se non te la ricordi, cerca in rete una sua immagine.
Vedrai che ti viene subito un'idea!
Io non ho provato ma ho un'idea in mente. Se ci sono problemi, chiedi pure e te la illustro.
Grazie, con l'immagine ho chiarito il concetto, ora ho capito. Grazie ed a presto!
Prego! 
Ciao cirasa mi piacerebbe sapere la tua soluzione.
Se non ricordo male, sei un'appassionata e non una studentessa, vero?
Sto pensando alle immagini del paraboloide iperbolico e del cilindro rappresentate qui.
L'idea, parlando in maniera "informale", è quella di prendere l'iperboloide e "deformarlo" attaverso una opportuna trasformazione "regolare" (detta appunto diffeomorfismo) nel cilindro.
La trasformazione agisce in questo modo: prende un punto $P$ sull'iperboloide, si traccia la semiretta di origine sull'asse $z$ (quello verticale) passante per $P$ e perpendicolare all'asse $z$, si interseca tale semiretta con il cilindro. Il punto di intersezione semiretta-cilindro è il trasformato di $P$.
Non so se è chiaro come agisce questa trasformazione. Spero di aver reso l'idea....
Ciao!
Sto pensando alle immagini del paraboloide iperbolico e del cilindro rappresentate qui.
L'idea, parlando in maniera "informale", è quella di prendere l'iperboloide e "deformarlo" attaverso una opportuna trasformazione "regolare" (detta appunto diffeomorfismo) nel cilindro.
La trasformazione agisce in questo modo: prende un punto $P$ sull'iperboloide, si traccia la semiretta di origine sull'asse $z$ (quello verticale) passante per $P$ e perpendicolare all'asse $z$, si interseca tale semiretta con il cilindro. Il punto di intersezione semiretta-cilindro è il trasformato di $P$.
Non so se è chiaro come agisce questa trasformazione. Spero di aver reso l'idea....
Ciao!
Si, ti ricordi bene.
ma come si fa a scrivere l'applicazione (diffeomorfismo) che mi hai spiegato in modo formale?
ma come si fa a scrivere l'applicazione (diffeomorfismo) che mi hai spiegato in modo formale?
Vuol dire scrivere il diffeomorfismo mediante la sua espressione esplicita in funzione delle sue funzioni componenti, ovvero scrivere $F:I\to C$, dove ho denotato con $I$ l'iperboloide e con $C$ il cilindro, nel seguente modo
$F(x,y,z)=(f_1(x,y,z),f_2(x,y,z),f_3(x,y,z))\in C$
per ogni $(x,y,z)\in I$, dove $f_1, f_2,f_3$ sono tre funzioni (da determinare).
Secondo me, questo esercizio consiste in due fasi:
- capire come può agire un diffeomorfismo che trasforma $I$ in $C$, come può essere questa "deformazione", che è quello che ho suggerito io a Nullissi;
- scrivere esplicitamente questa trasformazione mediante funzioni e verificare che si tratta effettivamente di un diffeomorfismo, e questo è il lavoro che ancora da finire.
$F(x,y,z)=(f_1(x,y,z),f_2(x,y,z),f_3(x,y,z))\in C$
per ogni $(x,y,z)\in I$, dove $f_1, f_2,f_3$ sono tre funzioni (da determinare).
Secondo me, questo esercizio consiste in due fasi:
- capire come può agire un diffeomorfismo che trasforma $I$ in $C$, come può essere questa "deformazione", che è quello che ho suggerito io a Nullissi;
- scrivere esplicitamente questa trasformazione mediante funzioni e verificare che si tratta effettivamente di un diffeomorfismo, e questo è il lavoro che ancora da finire.
Io ho provato a fare i calcoli e ho trovato $ f : S-> C $ tale che $f(x,y,z) = ( x / sqrt( c + z^2) , y / sqrt (c + z^2) , z / sqrt(c) )$ con inversa $ f^(-1) = ( x sqrt( c (1+z^2)), y sqrt (c(1 +z^2), z sqrt (c))$
Torna anche a voi?
Torna anche a voi?
"Nullissi":A me sembra che la $f$ funzioni.
Io ho provato a fare i calcoli e ho trovato $ f : S-> C $ tale che $ f(x,y,z) = ( x / sqrt( c + z^2) , y / sqrt (c + z^2) , z / sqrt(c) ) $ con inversa $ f^(-1) = ( x sqrt( c (1+z^2)), y sqrt (c(1 +z^2), z sqrt (c)) $ Torna anche a voi?
Non capisco quel riscalamento sulla terza variabile (hai diviso $z$ per $sqrt(c)$, non credo che ce ne fosse bisogno, correggimi se sbaglio), però di prim'acchito sembra funzionare.
P.S. Per cortesia, usa meglio le formule, altrimenti è complicato leggere il tuo post. Per esempio, non si capisce come agisce $f^{-1}$.
[mod="Alexp"]
@"Nullissi" ho provveduto a correggere le formule...ma presta più attenzione in futuro, altrimenti rischi che non si capisca nulla di ciò che scrivi!
[/mod]
Ancora una volta concordo con "cirasa", non capisco perchè hai diviso la $z$ per $sqrtc$....credo anche io che non ce ne sia proprio bisogno.
Tutto il resto mi sembra OK! Ciao
P.S: comunque anche l'idea proposta da "cirasa" la trovo molto carina, l'importante, come del resto puntualizza lui, è che bisogna specificare che la retta abbia origine sull'asse $z$, altrimenti si perde l'iniettività.
@"Nullissi" ho provveduto a correggere le formule...ma presta più attenzione in futuro, altrimenti rischi che non si capisca nulla di ciò che scrivi!
[/mod]
Ancora una volta concordo con "cirasa", non capisco perchè hai diviso la $z$ per $sqrtc$....credo anche io che non ce ne sia proprio bisogno.
Tutto il resto mi sembra OK! Ciao
P.S: comunque anche l'idea proposta da "cirasa" la trovo molto carina, l'importante, come del resto puntualizza lui, è che bisogna specificare che la retta abbia origine sull'asse $z$, altrimenti si perde l'iniettività.
Grazie Alexp, sono contento che trovi carina la mia idea! 
Grazie e scusate per le formule ma non ho capito come devo correggerle..
Ciao "Nullissi",
prova a leggerti bene questo link...
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
poi, ti consiglio, di iniziare a prendere cofidenza con ASCIIMathML e poi col tempo passare a Tex...Tex è un po' più complicato, per iniziare, secondo me, il MathML è più indicato...
prova a leggerti bene questo link...
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
poi, ti consiglio, di iniziare a prendere cofidenza con ASCIIMathML e poi col tempo passare a Tex...Tex è un po' più complicato, per iniziare, secondo me, il MathML è più indicato...
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