Diagonizzabilità delle matrici ed autovettori
Devo determinare il valore del parametro k $in$ $RR$ per il quale la matrice A = $((k,0,1),(0,2,0),(1,0,k))$
ammette come autovettore x = $((2),(1),(2))$
Fissato questo valore di k si tratta di stabilire se la matrice corrispondente è diagonalizzabile ed in caso affermativo diagonalizzarla.
Qualcuno può darmi una mano?
Grazie
ammette come autovettore x = $((2),(1),(2))$
Fissato questo valore di k si tratta di stabilire se la matrice corrispondente è diagonalizzabile ed in caso affermativo diagonalizzarla.
Qualcuno può darmi una mano?
Grazie
Risposte
Ciao!
Allora... Se x è un autovettore, sappiamo che Ax= ax per un certo a reale.
Sviluppa questo prodotto e ti verrà il valore di k che vai cercando.
Paola
Allora... Se x è un autovettore, sappiamo che Ax= ax per un certo a reale.
Sviluppa questo prodotto e ti verrà il valore di k che vai cercando.
Paola
Per diagonalizzare invece usa il polinomio caratteristico e osserva le sue radici. Dopo di che verifichi che la molteplicità algebrica corrisponda a quella geometrica. Se questo accade per ogni autovalore, A è diagonalizzabile.
Paola
Paola
Grazie per la dritta....
Ho trovato che k=1
ed ho ottenuto che la matrice corrispondente è
A=$((1,0,1),(0,2,0),(1,0,1))$
cioè simmetrica e per definizione anche diagonalizzabile.
ma quando vado a calcolare gli autovalori trovo
$\lambda$=0 (radice semplice)
$\lambda$=2 (radice doppia)
ovvero radici reali ma non distinte.
Qua però mi fermo..
Se calcolo gli autovettori ottengo:
per $\lambda$=2
x3=x1
x2=0
che mi portano ad ottenere due autovettori del tipo:$((1),(0),(1))$
in contraddizione a quanto affermato precedentemente.
Dove ho sbagliato?
Ho trovato che k=1
ed ho ottenuto che la matrice corrispondente è
A=$((1,0,1),(0,2,0),(1,0,1))$
cioè simmetrica e per definizione anche diagonalizzabile.
ma quando vado a calcolare gli autovalori trovo
$\lambda$=0 (radice semplice)
$\lambda$=2 (radice doppia)
ovvero radici reali ma non distinte.
Qua però mi fermo..
Se calcolo gli autovettori ottengo:
per $\lambda$=2
x3=x1
x2=0
che mi portano ad ottenere due autovettori del tipo:$((1),(0),(1))$
in contraddizione a quanto affermato precedentemente.
Dove ho sbagliato?
Anche a me viene k=1 e quei 2 autovalori.
Le soluzioni del polinomio sono le stesse da te citate.
Con t=2 (con t indico le radici del polinomio) si ottiene un autospazio di dimensione 2 (esattamente il piano x-z=0)
La radice t=0 ha molteplicità algebrica 1 e quindi anche molteplicità geometrica 1 (c'è un teorema che lo afferma) perciò i relativi autospazi hanno dimensione uguale alla molteplicità algebrica.
Dunque la matrice è diagonalizzabile.
Mi sembra funzioni tutto.. prova a rivedere i conti.. Se ti resta qualche dubbio di riguardiamo.
Paola
Le soluzioni del polinomio sono le stesse da te citate.
Con t=2 (con t indico le radici del polinomio) si ottiene un autospazio di dimensione 2 (esattamente il piano x-z=0)
La radice t=0 ha molteplicità algebrica 1 e quindi anche molteplicità geometrica 1 (c'è un teorema che lo afferma) perciò i relativi autospazi hanno dimensione uguale alla molteplicità algebrica.
Dunque la matrice è diagonalizzabile.
Mi sembra funzioni tutto.. prova a rivedere i conti.. Se ti resta qualche dubbio di riguardiamo.
Paola
Aspetta per essere più chiara ti posto il procedimento che ho usato per calcolare l'autospazio dell'autovalore t=2.
Supponiamo che la funzione lineare associata ad A sia f.
L'autospazio di un autovalore $\beta$ altro non è che il nucelo dell'applicazione $f -\beta id$ dove id è l'applicazione identità.
Allora considero la matrice relativa a $f - \beta id$:
$[(1, 0 , 1), (0, 2, 0), (1, 0, 1)] - \beta [(1,0,1), (0,1,0), (0,0,1)] =$ ($\beta$ è 2 in questo caso) $[(-1,0,1), (0,0,0), (1,0,-1)]$.
Allora il nucleo di questa applicazione, per definizione di nucleo sarà questo: dato il vettore generico (x,y,z)
$[(-1,0,1), (0,0,0), (1,0,-1)] ((x), (y), (z)) = ((0),(0),(0))$
Sviluppando questo prodotto verranno 3 equazioni: una nulla e 2 uguali, quindi una sola equazione eliminando una delle uguali e quella nulla. Quindi verrà l'equazione del piano, che ha dimensione 2 in $A^3 (R)$. E 2 è anche la molteplicità algebrica della radice $t=2$.
Per quanto riguarda l'altra come ti ho detto c'è un teorema che afferma che se una radice del polinomio caratteristico ha molteplicità algebrica 1, il suo relativo autospazio ha dimensione 1.
E' molto comodo, evita dei gran calcoli!
Paola
Supponiamo che la funzione lineare associata ad A sia f.
L'autospazio di un autovalore $\beta$ altro non è che il nucelo dell'applicazione $f -\beta id$ dove id è l'applicazione identità.
Allora considero la matrice relativa a $f - \beta id$:
$[(1, 0 , 1), (0, 2, 0), (1, 0, 1)] - \beta [(1,0,1), (0,1,0), (0,0,1)] =$ ($\beta$ è 2 in questo caso) $[(-1,0,1), (0,0,0), (1,0,-1)]$.
Allora il nucleo di questa applicazione, per definizione di nucleo sarà questo: dato il vettore generico (x,y,z)
$[(-1,0,1), (0,0,0), (1,0,-1)] ((x), (y), (z)) = ((0),(0),(0))$
Sviluppando questo prodotto verranno 3 equazioni: una nulla e 2 uguali, quindi una sola equazione eliminando una delle uguali e quella nulla. Quindi verrà l'equazione del piano, che ha dimensione 2 in $A^3 (R)$. E 2 è anche la molteplicità algebrica della radice $t=2$.
Per quanto riguarda l'altra come ti ho detto c'è un teorema che afferma che se una radice del polinomio caratteristico ha molteplicità algebrica 1, il suo relativo autospazio ha dimensione 1.
E' molto comodo, evita dei gran calcoli!
Paola
Grazie 1000,
Ma una volta trovati gli autovettori:
$((1),(0),(1))$$((1),(0),(-1))$$((1),(0),(-1))$
come faccio materialmente a diagonalizzarla, ovvero a trasformarla in una matrice diagonale?
Ma una volta trovati gli autovettori:
$((1),(0),(1))$$((1),(0),(-1))$$((1),(0),(-1))$
come faccio materialmente a diagonalizzarla, ovvero a trasformarla in una matrice diagonale?
Allora, intanto gli autovettori sono
${ ((1),(-1),(0))$ $((1),(1),(0))$ $((0),(0),(1)) }=B$
Il primo è quello relativo all'autovalore 0, gli altri 2 generano il piano x-z=0.
Hai quindi una base di autovettori, B per l'appunto. Allora, sai che la matrice A è simile alla matrice
$[(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2)]$, che altri non è che la matrice relativa alla base canonica nel dominio e alla base B nel codominio.
Ecco fatto ;)
Paola
${ ((1),(-1),(0))$ $((1),(1),(0))$ $((0),(0),(1)) }=B$
Il primo è quello relativo all'autovalore 0, gli altri 2 generano il piano x-z=0.
Hai quindi una base di autovettori, B per l'appunto. Allora, sai che la matrice A è simile alla matrice
$[(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2)]$, che altri non è che la matrice relativa alla base canonica nel dominio e alla base B nel codominio.
Ecco fatto ;)
Paola
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