Diagonalizzazione, un po' di confusione
buongiorno a tutti, ho un problemino di carattere sia teorico che pratico per quanto riguarda la diagonalizzazione. Proverò a spiegarmi con un esempio:
si consideri la matrice
$A=((1,-1,2),(-1,1,-2),(2,-2,4))$
1) si determini una matrice $N$ ortogonale tale che $^tNAN$ sia diagonale.
2) si determini $P$ invertibile, non ortogonale, tale che $P^-1AP$ sia diagonale.
Vi risparmio i calcoli ma vi dico solo che il polinomio caratteristico è:
$p(t)=t^2(6-t)$
Gli autovalori sono quindi $0$ con molteplicità $m_0=2$, e $6$ con molteplicità $m_6=1$.
gli autospazi generati dalle basi:
$B_0=((1,1,0);(0,2,1))$
$B_6=(1,-1,2)$
Da quello che ne so io, ora per rispondere alla prima domanda, basta normalizzare i tre vettori che compongono le due basi, e metterli per colonne.
Nel secondo caso invece sarebbe sufficiente mettere i tre vettori per colonne senza normalizzarli;
c'è qualcosa di sbagliato?
si consideri la matrice
$A=((1,-1,2),(-1,1,-2),(2,-2,4))$
1) si determini una matrice $N$ ortogonale tale che $^tNAN$ sia diagonale.
2) si determini $P$ invertibile, non ortogonale, tale che $P^-1AP$ sia diagonale.
Vi risparmio i calcoli ma vi dico solo che il polinomio caratteristico è:
$p(t)=t^2(6-t)$
Gli autovalori sono quindi $0$ con molteplicità $m_0=2$, e $6$ con molteplicità $m_6=1$.
gli autospazi generati dalle basi:
$B_0=((1,1,0);(0,2,1))$
$B_6=(1,-1,2)$
Da quello che ne so io, ora per rispondere alla prima domanda, basta normalizzare i tre vettori che compongono le due basi, e metterli per colonne.
Nel secondo caso invece sarebbe sufficiente mettere i tre vettori per colonne senza normalizzarli;
c'è qualcosa di sbagliato?
Risposte
No non lo sono, quindi devo trovare un terzo qualsiasi ortogonale ad entrambi;
;a quello che mi chiedo è: utilizzare i tre vettori delle due basi è sufficiente ad avere una matrice diagonalizzante?
;a quello che mi chiedo è: utilizzare i tre vettori delle due basi è sufficiente ad avere una matrice diagonalizzante?
Ok, ora ho le idee un po' più chiare, ma quello che mi chiedo è: non basta normalizzare i tre vettori colonna di $P$ per ottenere $N$ perchè manca l'ortogonalità?
perdono senza alcun dubbio la franchezza, un po' meno l'altezzosità; a domande altrettanto scontate e banali (per loro), titolari di cattedra da 30 anni al Politecnico di Torino hanno risposto ai miei dubbi, facendomi notare la banalità, ma non certo con sufficienza, irritazione o nient'altro. E parlo (con dati alla mano) di alcuni dei matematici migliori d'Italia, e le chiedo scusa per la franchezza, non utenti di un forum sulla matematica.
Se la mia domanda le pare irritante, ha tutti i motivi e tutti i diritti per non rispondervi.
Non cerco di ottenere nessuno sconto, ne trovo eccessivamente scontato, tanto dall'irritare qualcuno, il cercare di capire per quale motivo autovettori associati a ad autovalori diversi siano ortogonali tra loro, e per quale motivo, i vettori di una stessa autobase non lo siano. Le assicuro che ho visto decine di questioni più facili trattate in questo stesso thread.
Se la mia domanda le pare irritante, ha tutti i motivi e tutti i diritti per non rispondervi.
Non cerco di ottenere nessuno sconto, ne trovo eccessivamente scontato, tanto dall'irritare qualcuno, il cercare di capire per quale motivo autovettori associati a ad autovalori diversi siano ortogonali tra loro, e per quale motivo, i vettori di una stessa autobase non lo siano. Le assicuro che ho visto decine di questioni più facili trattate in questo stesso thread.
Si puo applicare il metodo Gram-Schmidt per avere una matrice ortonormale e comunque ortogonale. A partire dagli auto spazi già trovati, tale procedimento produce la matrice N richiesta :
N=\(\displaystyle \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2}&-\frac{1}{\sqrt3} &\frac{1}{\sqrt6} \\ \frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt3} &-\frac{1}{\sqrt6} \\ 0&\frac{1}{\sqrt3} &\frac{2}{\sqrt6} \end{pmatrix} \)
Quanto alla matrice P, essa è semplicemente quella che ha per colonne gli autovettori trovati :
\(\displaystyle P=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&2&-1\\0&1&2\end{pmatrix} \)
I motivi di tali considerazioni fanno parte della teoria. Ed allora auguro anch'io ...buono studio
N=\(\displaystyle \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2}&-\frac{1}{\sqrt3} &\frac{1}{\sqrt6} \\ \frac{1}{\sqrt2}&\frac{1}{\sqrt3} &-\frac{1}{\sqrt6} \\ 0&\frac{1}{\sqrt3} &\frac{2}{\sqrt6} \end{pmatrix} \)
Quanto alla matrice P, essa è semplicemente quella che ha per colonne gli autovettori trovati :
\(\displaystyle P=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&2&-1\\0&1&2\end{pmatrix} \)
I motivi di tali considerazioni fanno parte della teoria. Ed allora auguro anch'io ...buono studio
Si questo metodo lo conosco, ma lo utilizzavo solo per trovare una base ortonormale, se però quella base la metto per colonne ottengo la matrice cercata, e questo non lo sapevo. Grazie mille per la disponibilità, mi sarà senz'altro utile per la prova di domani
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