Diagonalizzazione ortogonale [RISOLTO]
Buondì! Vorrei sapere se questo esercizio l'ho svolto nel modo corretto. Grazie in anticipo!
Testo dell'esercizio
Si consideri la seguente matrice:
$A=((16,0,4),(0,1,0),(4,0,1))$
a) Si determini, se esiste, una matrice ortogonale $P$ tale che $A' = P^T A P$ sia diagonale.
Prima ho verificato che $A$ fosse diagonalizzabile calcolandone gli autovalori.
$det(A-\lambda I) = det((16-\lambda,0,4),(0,1-\lambda,0),(4,0,1-\lambda))=0$
sviluppato rispetto alla seconda riga ottengo
$(1-\lambda)*det((16-\lambda, 4),(4,1-\lambda))=(1-\lambda)(\lambda^2 -17\lambda)=0$
da cui
$\lambda_1 = 0$
$\lambda_2 = 1$
$\lambda_3 = 17$
Dato che gli autovalori sono tutti diversi, possono concludere che $A$ è diagonalizzabile. Per trovarmi la matrice che la diagonalizza, mi calcolo gli autovettori.
1)
$ker(A-\lambda_1 I)=\{(16 x_1 + 4 x_3 = 0),(x_2 = 0),(4 x_1 + x_3 = 0) :} $
da cui risulta
$\{(x_1 = -{x_3}/4),(x_2 = 0),(x_3):}$
ponendo $x_3 = 2 $ si ottiene l'autovettore $v_1 = (-1/2,0,2)$
2)
Risolto il sistema viene fuori
$\{(x_1 = 0),(x_2 ),(x_3 = 0) :}$
e l'autovettore è, posto $x_2 = 1$, $v_2 = (0,1,0)$
3)
Il sistema viene
$\{(x_1),(x_2=0),(x_3=x_1/4):}$
posto $x_1=4$, $v_3 = (4,0,1)$
Ottengo quindi la matrice
$B=((-1/2,0,4),(0,1,0),(2,0,1))$
che diagonalizza $A$ ma che ancora non soddisfa le condizioni dell'esercizio. Ergo, la ortogonalizzo (utilizzando Gram-Schmidt).
$w_1 = v_1$
$w_2 = v_2 - {}/{||w_1||^2}w_1$
$w_3 = v_3 - {}/{||w_1||^2}w_1 - {}/{||w_2||^2}w_2$
Per quest'ultimo passaggio vorrei due chiarimenti... 1) dato che gli autovettori sono disposti in colonna, il procedimento di Gram-Schimdt lo faccio sulle colonne o comunque sulle righe? 2) ho trovato un esercizio quasi uguale svolto e ho notato che oltre ad ortogonalizzarla, la ortonormalizzano pure. Devo farlo anch'io? E se si, per quale ragione? Dopotutto si chiede solo una diagonalizzazione ortogonale...
Grazie per le eventuali risposte.
Testo dell'esercizio
Si consideri la seguente matrice:
$A=((16,0,4),(0,1,0),(4,0,1))$
a) Si determini, se esiste, una matrice ortogonale $P$ tale che $A' = P^T A P$ sia diagonale.
Prima ho verificato che $A$ fosse diagonalizzabile calcolandone gli autovalori.
$det(A-\lambda I) = det((16-\lambda,0,4),(0,1-\lambda,0),(4,0,1-\lambda))=0$
sviluppato rispetto alla seconda riga ottengo
$(1-\lambda)*det((16-\lambda, 4),(4,1-\lambda))=(1-\lambda)(\lambda^2 -17\lambda)=0$
da cui
$\lambda_1 = 0$
$\lambda_2 = 1$
$\lambda_3 = 17$
Dato che gli autovalori sono tutti diversi, possono concludere che $A$ è diagonalizzabile. Per trovarmi la matrice che la diagonalizza, mi calcolo gli autovettori.
1)
$ker(A-\lambda_1 I)=\{(16 x_1 + 4 x_3 = 0),(x_2 = 0),(4 x_1 + x_3 = 0) :} $
da cui risulta
$\{(x_1 = -{x_3}/4),(x_2 = 0),(x_3):}$
ponendo $x_3 = 2 $ si ottiene l'autovettore $v_1 = (-1/2,0,2)$
2)
Risolto il sistema viene fuori
$\{(x_1 = 0),(x_2 ),(x_3 = 0) :}$
e l'autovettore è, posto $x_2 = 1$, $v_2 = (0,1,0)$
3)
Il sistema viene
$\{(x_1),(x_2=0),(x_3=x_1/4):}$
posto $x_1=4$, $v_3 = (4,0,1)$
Ottengo quindi la matrice
$B=((-1/2,0,4),(0,1,0),(2,0,1))$
che diagonalizza $A$ ma che ancora non soddisfa le condizioni dell'esercizio. Ergo, la ortogonalizzo (utilizzando Gram-Schmidt).
$w_1 = v_1$
$w_2 = v_2 - {
$w_3 = v_3 - {
Per quest'ultimo passaggio vorrei due chiarimenti... 1) dato che gli autovettori sono disposti in colonna, il procedimento di Gram-Schimdt lo faccio sulle colonne o comunque sulle righe? 2) ho trovato un esercizio quasi uguale svolto e ho notato che oltre ad ortogonalizzarla, la ortonormalizzano pure. Devo farlo anch'io? E se si, per quale ragione? Dopotutto si chiede solo una diagonalizzazione ortogonale...
Grazie per le eventuali risposte.
Risposte
"mozzarella_girl":
Per quest'ultimo passaggio vorrei due chiarimenti... 1) dato che gli autovettori sono disposti in colonna, il procedimento di Gram-Schimdt lo faccio sulle colonne o comunque sulle righe? 2) ho trovato un esercizio quasi uguale svolto e ho notato che oltre ad ortogonalizzarla, la ortonormalizzano pure. Devo farlo anch'io? E se si, per quale ragione? Dopotutto si chiede solo una diagonalizzazione ortogonale...
Grazie per le eventuali risposte.
non c'è bisogno di ortogonalizzare i vettori, perché ad autovalori diversi corrispondono autovettori ortogonali, devi normalizzare i vettori che hai perché una matrice ortogonale ha per colonne dei vettori che formano una base ortonormale, se i tuoi vettori non fossero normalizzati la tua matrice non sarebbe ortogonale, spero di essere stato chiaro.
"angeloferrari":
non c'è bisogno di ortogonalizzare i vettori, perché ad autovalori diversi corrispondono autovettori ortogonali, devi normalizzare i vettori che hai perché una matrice ortogonale ha per colonne dei vettori che formano una base ortonormale, se i tuoi vettori non fossero normalizzati la tua matrice non sarebbe ortogonale, spero di essere stato chiaro.
Ah, ecco. Mi ero dimenticata (
) che una matrice ortogonale dovesse avere vettori ortonormali sulle colonne. Il primo punto, sinceramente, mi giunge nuovo. Come mai ad autovalori diversi corrispondono autovettori ortogonali fra di loro?
Grazie per la risposta, comunque.
credo sia un lemma o un teorema ..guardo negli appunti e rispondo ( puoi verificare tu stessa facendo i prodotti scalari tra i 3 vettori) ,gli esercizi che hai visto dove venivano ortonormalizzati li hai trovati online per caso?
si è appunto un lemma relativo al teorema spettrale!
No. Erano appunti di un mio compagno di corso. A quella lezione non ci ero andata e me li ha prestati. Al massimo, chiedo alla professoressa.
Grazie comunque. Adesso vado a vedere nei miei appunti o nel libro se trovo qualcosa al riguardo.
Grazie comunque. Adesso vado a vedere nei miei appunti o nel libro se trovo qualcosa al riguardo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo