Diagonalizzazione nello spazio polinomiale
Ragazzi ho quest'esercizio di diagonalizzazione preso da un compito passato.
" Si consideri l’endomorfismo di $R_2[x]$ definito da:
$f(a_0 + a_1x + a_2x^2) rarr (a_0 − a_1 − a_2) + 2a_1x + 2a_2x^2$
1)Determinare la matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica di $R_2[x]$ e studiare l’endomorfismo.
2)Verificare che $f$ è diagonalizzabile, trovare gli autovalori di $ f$, i relativi autospazi e l’auto-
base.
2) Scrivere la matrice diagonale ed effettuare la verifica di similitudine, dopo aver determinato la matrice di passaggio dalla base canonica all’autobase.
Punto 1)Ho trovato la matrice associata ad f e mi risulta che sia $A((1,0,2),(1,-1,1),(0,0,2))$ E' corretta? Dopo di che ho studiato l'endomorfismo, ovvero immagine e nucleo di $f$.
Punto 2) Ho individuato il il polinomio caratteristico, e mi risulta che $f$ è diagonalizzabile con autovalori $\lambda_1=1 , \lambda_2=-1 , \lambda_3=2$ . Per gli autospazi ho risolto i rispettivi sistemi : $ (A-\lambdaI)=((a_o),(a_1),(a_2))=((0),(0),(0))$
Trovando come autobase: $B=(2+x,x,6+x-3x^2)$ . E' corretto?
Punto 3) Devo verificare la similitudine $PD=AP$ il problema sta adesso qui, perchè la similitudine non riesco a verificarla.
Come matrice P avevo considerato $P((2,0,6),(1,1,1),(0,0,-3)) $ . Quando vado ad effettuare tutti i prodotti le matrici differiscono per un valore.
Mi potete dire dove sbaglio?
Grazie in anticipo
" Si consideri l’endomorfismo di $R_2[x]$ definito da:
$f(a_0 + a_1x + a_2x^2) rarr (a_0 − a_1 − a_2) + 2a_1x + 2a_2x^2$
1)Determinare la matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica di $R_2[x]$ e studiare l’endomorfismo.
2)Verificare che $f$ è diagonalizzabile, trovare gli autovalori di $ f$, i relativi autospazi e l’auto-
base.
2) Scrivere la matrice diagonale ed effettuare la verifica di similitudine, dopo aver determinato la matrice di passaggio dalla base canonica all’autobase.
Punto 1)Ho trovato la matrice associata ad f e mi risulta che sia $A((1,0,2),(1,-1,1),(0,0,2))$ E' corretta? Dopo di che ho studiato l'endomorfismo, ovvero immagine e nucleo di $f$.
Punto 2) Ho individuato il il polinomio caratteristico, e mi risulta che $f$ è diagonalizzabile con autovalori $\lambda_1=1 , \lambda_2=-1 , \lambda_3=2$ . Per gli autospazi ho risolto i rispettivi sistemi : $ (A-\lambdaI)=((a_o),(a_1),(a_2))=((0),(0),(0))$
Trovando come autobase: $B=(2+x,x,6+x-3x^2)$ . E' corretto?
Punto 3) Devo verificare la similitudine $PD=AP$ il problema sta adesso qui, perchè la similitudine non riesco a verificarla.
Come matrice P avevo considerato $P((2,0,6),(1,1,1),(0,0,-3)) $ . Quando vado ad effettuare tutti i prodotti le matrici differiscono per un valore.
Mi potete dire dove sbaglio?
Grazie in anticipo
Risposte
a me sembra che tu sbagli la matrice rappresentativa. utilizzando l'isomorfismo canonico tra $RR_2$ ed $RR^3$ l'immagine della funzione diventa: $(a_0 -a_1 -a_2, 2a_1,2a_2)$
e quindi la matrice rappresentativa mi viene:
$ ( ( 1 , -1 , -1 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
P.S. hai dimenticato il quadrato quando hai definito la funzione.
e quindi la matrice rappresentativa mi viene:
$ ( ( 1 , -1 , -1 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
P.S. hai dimenticato il quadrato quando hai definito la funzione.
In generale quando trovo la matrice associata faccio così(nell'esercizio in questione):
$1 rarr 1+x$
$ x rarr -x$
$ x^2 rarr 2+x+2x^2$
Rispetto la base canonica $B=(1,x,x^2)$
Quindo considerando prima $a_0=1$ e tutti gli altri 0, poi $a_1=1$ e gli altri zero, e infine $a_2=1$ e tutti gli altri zero. Posizionando poi nella matrice i vettori trovati come vettori colonna. E' sbagliato così?
P.S. Visto il mancato quadrato, ho modificato
$1 rarr 1+x$
$ x rarr -x$
$ x^2 rarr 2+x+2x^2$
Rispetto la base canonica $B=(1,x,x^2)$
Quindo considerando prima $a_0=1$ e tutti gli altri 0, poi $a_1=1$ e gli altri zero, e infine $a_2=1$ e tutti gli altri zero. Posizionando poi nella matrice i vettori trovati come vettori colonna. E' sbagliato così?
P.S. Visto il mancato quadrato, ho modificato
non riesco ad interpretare il tuo procedimento, ma io farei così:
$1 ->$ termine noto
$x->$ termini con $x$
$x^2->$ termini con $x^2$
a riprova del fatto che la matrice associata sia sbagliata se moltiplico quella che hai calcolato tu con il vettore delle incognite $(a_0,a_1,a_2)^T$ non ritrovo la definizione della funzione.
ricorda anche (senza bisogno di usare l'isomorfismo) che quando hai a che fare con basi canoniche e applicazioni definite come quella di questo testo, la matrice associata è immediata!
$1 ->$ termine noto
$x->$ termini con $x$
$x^2->$ termini con $x^2$
a riprova del fatto che la matrice associata sia sbagliata se moltiplico quella che hai calcolato tu con il vettore delle incognite $(a_0,a_1,a_2)^T$ non ritrovo la definizione della funzione.
ricorda anche (senza bisogno di usare l'isomorfismo) che quando hai a che fare con basi canoniche e applicazioni definite come quella di questo testo, la matrice associata è immediata!
Aspetta, scusa ho fatto confusione tra due esercizi di diagonalizzazione 
L'applicazione lineare era questa :
$f(a_0 + a_1x + a_2x^2) rarr (a_0 + 2a_2) + (a_0 − a_1 + a_2)x + 2a_2x^2$
I punti sono tutti uguali, non so perchè ma ho copiato l'applicazione sbagliata. Scusami
L'applicazione lineare era questa :
$f(a_0 + a_1x + a_2x^2) rarr (a_0 + 2a_2) + (a_0 − a_1 + a_2)x + 2a_2x^2$
I punti sono tutti uguali, non so perchè ma ho copiato l'applicazione sbagliata. Scusami
allora si la matrice associata è giusta.
a questo punto mi sembra che sia sbagliato l'ultimo autovettore. a me esce $(2,1,1)$ che in polinomio diventa $2+x+x^2$
a questo punto mi sembra che sia sbagliato l'ultimo autovettore. a me esce $(2,1,1)$ che in polinomio diventa $2+x+x^2$
Ho rincontrollato i calcoli, ho sbagliato a ricavare l'autospazio. Grzie dell'aiuto, e scusa ancora 
di nulla, per così poco poi!
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