Diagonalizzazione-Motivazione teorica
Salve!!
Per favore qualcuno sa dirmi perchè la matrice Diagonale D e la matrice diagonalizzante P di una matrice A, si costruiscono nella pratica rispettivamente come una matrice diagonale D che ha sulla diagonale principale gli opportuni autovalori, e una matrice P le cui colonne sono proprio gli autovettori di A ?
Qual'è la spiegazione teorica che si nasconde dietro questa pratica risoluzione?
Grazie!
Per favore qualcuno sa dirmi perchè la matrice Diagonale D e la matrice diagonalizzante P di una matrice A, si costruiscono nella pratica rispettivamente come una matrice diagonale D che ha sulla diagonale principale gli opportuni autovalori, e una matrice P le cui colonne sono proprio gli autovettori di A ?
Qual'è la spiegazione teorica che si nasconde dietro questa pratica risoluzione?
Grazie!
Risposte
Il fatto che la diagonale abbia gli autovalori come elementi principali è una cosa voluta: le matrici diagonali sono le più semplici da un punto di vista funzionale in quanto se le pensi come funzioni che agiscono su uno spazio vettoriale su cui hai fissato una base esse sono quelle che trasformano i vettori mantenendo costante la loro retta di appartenenza e quindi la trasformazione che esse determinano è, su ogni retta, una opportuna dilatazione o contrazione. *
Gli autovalori e gli autovettori sono definiti esattamente come quei valori $\lambda$ e quei vettori $x$ tali che $Ax=\lambda x$, cioè esattamente la situazione in cui un vettore viene trasformato in uno che appartiene alla stessa retta.
Il fatto che la matrice, che chiami diagonalizzante, sia costruita con una base di autovettori si può giustificare con i teoremi che trovi in un qualunque libro di algebra lineare ma il succo è il seguente: parti dalla base canonica B, diagonalizzare A significa cercare una base B' rispetto alla quale la funzione f associata ad A nella base B si comporta come ho scritto prima (dilatazioni e contrazioni lungo le rette). Una volta che hai trovato questa base come la usi per determinare l'immagine di un certo vettore v di tua scelta operativamente?
Tu conosci v tramite le sue coordinate nella base canonica, quindi:
1) Scrivi v nelle coordinate della base B'
2) Ora che sei nella nuova base B' puoi applicare a v la funzione f ricordandoti che essa agisce lungo le rette e ottenere f(v)=w
3) Ti ricordi che partivi dalla base B quindi riscrivi il vettore calcolato w nella base B.
Algebricamente:
il punto 1 equivale a calcolare $P^{-1}*v$ dove P ha come colonne gli autovettori che sono i vettori della base B', ovvero $P$ è la matrice di cambiamento di base.
il punto 2 equivale a moltiplicare a sinistra per la matrice diagonale, cioè applicare la funzione f.
il punto 3 equivale a moltiplicare a sinistra per $P$.
Se li metti insieme ottieni appunto $PDP^{-1}v$ che è un modo alternativo per calcolare $Av$.
* Nel caso di autovalori reali fila tutto liscio, nel caso di autovalori complessi cambia qualcosina ma il succo è lo stesso.
Spero di essere stato chiaro.
A.
Gli autovalori e gli autovettori sono definiti esattamente come quei valori $\lambda$ e quei vettori $x$ tali che $Ax=\lambda x$, cioè esattamente la situazione in cui un vettore viene trasformato in uno che appartiene alla stessa retta.
Il fatto che la matrice, che chiami diagonalizzante, sia costruita con una base di autovettori si può giustificare con i teoremi che trovi in un qualunque libro di algebra lineare ma il succo è il seguente: parti dalla base canonica B, diagonalizzare A significa cercare una base B' rispetto alla quale la funzione f associata ad A nella base B si comporta come ho scritto prima (dilatazioni e contrazioni lungo le rette). Una volta che hai trovato questa base come la usi per determinare l'immagine di un certo vettore v di tua scelta operativamente?
Tu conosci v tramite le sue coordinate nella base canonica, quindi:
1) Scrivi v nelle coordinate della base B'
2) Ora che sei nella nuova base B' puoi applicare a v la funzione f ricordandoti che essa agisce lungo le rette e ottenere f(v)=w
3) Ti ricordi che partivi dalla base B quindi riscrivi il vettore calcolato w nella base B.
Algebricamente:
il punto 1 equivale a calcolare $P^{-1}*v$ dove P ha come colonne gli autovettori che sono i vettori della base B', ovvero $P$ è la matrice di cambiamento di base.
il punto 2 equivale a moltiplicare a sinistra per la matrice diagonale, cioè applicare la funzione f.
il punto 3 equivale a moltiplicare a sinistra per $P$.
Se li metti insieme ottieni appunto $PDP^{-1}v$ che è un modo alternativo per calcolare $Av$.
* Nel caso di autovalori reali fila tutto liscio, nel caso di autovalori complessi cambia qualcosina ma il succo è lo stesso.
Spero di essere stato chiaro.
A.
Ciao! grazie mille per la risposta..forse per ora non ho ancora le conoscenze che mi permetteranno di comprendere tutto cio che hai spiegato ma di sicuro mi tornerà utile. Grazie!
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