Diagonalizzazione matrici simmetriche
Salve,
ho un dubbio e mi scuso sin da ora per l'ignoranza in materia e vi prego di correggeri su ogni punto.
Rispettate le condizioni sufficienti (o necessarie e sufficienti) per la diagonalizzabilità, ogni matrice può essere resa diagonale (e nella diagonale avere i propri autovalori) con una trasformazione per similitudine con matrice di trasformazione la matrice degli autovettori. OK?
Se la matrice degli autovettori (matrice di trasformazione) è ortonormale (la trasposta coincide con l'inversa), allora la matrice da trasformare (in una matrice diagonale, nella cui diagonale ci sono gli autovalori, sempre rispettando opportune ipotesi) è simmetrica?
Grazie per ogni risposta in merito
ho un dubbio e mi scuso sin da ora per l'ignoranza in materia e vi prego di correggeri su ogni punto.
Rispettate le condizioni sufficienti (o necessarie e sufficienti) per la diagonalizzabilità, ogni matrice può essere resa diagonale (e nella diagonale avere i propri autovalori) con una trasformazione per similitudine con matrice di trasformazione la matrice degli autovettori. OK?
Se la matrice degli autovettori (matrice di trasformazione) è ortonormale (la trasposta coincide con l'inversa), allora la matrice da trasformare (in una matrice diagonale, nella cui diagonale ci sono gli autovalori, sempre rispettando opportune ipotesi) è simmetrica?
Grazie per ogni risposta in merito
Risposte
mmm...
allora..sulla prima parte chiaramente sono d'accordo..se richiedi condizioni sufficienti affiché qualcosa volga, evidentemente quella cosa vale.
la seconda è, di fatto, un risultato inverso al teorema spettrale. Cioè: se una matrice ha una base ortonormale di autovettori, allora quella matrice è simmetrica??? Secondo me sì...e una possibile dimostrazione, a grandi linee, potrebbe essere la seguente.
Prendiamo $A$ matrice qualsiasi, che ha una base ortonormale di autovettori. La matrice che ha come colonne gli autovettori è quella del cambio di base che rende la matrice diagonale. Ma una matrice le cui colonne sono una base ortonormale è necessariamente ortogonale (basta fare brutalmente i conti per verificarlo). Ma se la matrice di cambio di base è ortogonale, allora una similitudine/coniugio attraverso di essa conserva la simmetria. Poiché la matrice diagonale è, per definizione, simmetrica, allora anche la matrice di partenza è simmetrica.
Sta in piedi???
allora..sulla prima parte chiaramente sono d'accordo..se richiedi condizioni sufficienti affiché qualcosa volga, evidentemente quella cosa vale.
la seconda è, di fatto, un risultato inverso al teorema spettrale. Cioè: se una matrice ha una base ortonormale di autovettori, allora quella matrice è simmetrica??? Secondo me sì...e una possibile dimostrazione, a grandi linee, potrebbe essere la seguente.
Prendiamo $A$ matrice qualsiasi, che ha una base ortonormale di autovettori. La matrice che ha come colonne gli autovettori è quella del cambio di base che rende la matrice diagonale. Ma una matrice le cui colonne sono una base ortonormale è necessariamente ortogonale (basta fare brutalmente i conti per verificarlo). Ma se la matrice di cambio di base è ortogonale, allora una similitudine/coniugio attraverso di essa conserva la simmetria. Poiché la matrice diagonale è, per definizione, simmetrica, allora anche la matrice di partenza è simmetrica.
Sta in piedi???
Sì, esatto.
In dimensione finita, in campo reale, il teorema spettrale afferma che la simmetria è una condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzzabilità in base ortonormale, cioè mediante una matrice ortgonale.
La parte difficile è la sufficienza; la necessità è praticamente banale, basta fare i conti che hai indicato (e giocare un po' con le proprietà delle matrici ortogonali).
E' bene notare fin da subito che il teorema non si estende in modo ovvio al campo complesso (cioè non è vero se al posto di matrici simmetriche prendiamo matrici hermitiane).
C'è poi un'estensione a generici spazi di dimensione infinita, ma questa è un'altra storia. C'è un bell'articolo di Halmos, a riguardo, "What does the spectral theorem say?", The American Mathematical Monthly, Vol. 70, No. 3 (Mar., 1963), pp. 241-247.
In dimensione finita, in campo reale, il teorema spettrale afferma che la simmetria è una condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzzabilità in base ortonormale, cioè mediante una matrice ortgonale.
La parte difficile è la sufficienza; la necessità è praticamente banale, basta fare i conti che hai indicato (e giocare un po' con le proprietà delle matrici ortogonali).
E' bene notare fin da subito che il teorema non si estende in modo ovvio al campo complesso (cioè non è vero se al posto di matrici simmetriche prendiamo matrici hermitiane).
C'è poi un'estensione a generici spazi di dimensione infinita, ma questa è un'altra storia. C'è un bell'articolo di Halmos, a riguardo, "What does the spectral theorem say?", The American Mathematical Monthly, Vol. 70, No. 3 (Mar., 1963), pp. 241-247.
allora..sulla prima parte chiaramente sono d'accordo.
la seconda è, di fatto, un risultato inverso al teorema spettrale. Cioè: se una matrice ha una base ortonormale di autovettori, allora quella matrice è simmetrica??? Secondo me sì
In dimensione finita, in campo reale, il teorema spettrale afferma che la simmetria è una condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzzabilità in base ortonormale, cioè mediante una matrice ortgonale.
grazie per la spiegazione (si mi riferisco al campo reale, quindi alla simmetria, e in dimensione finita). La condizione necessaria e sufficiente mi aiuta molto per il mio obiettivo, che per l'appunto vuole partire da una matrice di trasformazione ortonormale per arrivare a dire che la matrice deve essere simmetrica (altrimenti se la matrice di partenza non è simmetrica ho che la matrice di trasformazione non è ortonormale).
--> una matrice simmetrica ha sempre autovettori ortonormali?
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