Diagonalizzazione matrice con parametro
Ciao a tutti... ho un dubbio sulla risoluzione di un esercizio, spero mi possiate dare una mano:
Data la matrice :
$A=((1,0,0,2),(0,1,0,2),(0,0,1,2),(2,2,2,t))$
mi viene chiesto di studiarne la diagonalizzabilità al variare di $t$ in $RR$ e di verificare che per $t = 0$ A è diagonalizzabile.
Ora, calcolando come di consueto il polinomio caratteristico ottengo: $P(x)= (1-x)^2 * (x^2 - (1+t)x -12)$ e qui esce il mio problema...
chiaramente ho già un autovalore con molteplicità algebrica due che è x=1 ma non riesco a scomporre il trinomio di secondo grado in maniera semplice, se cioè scompongo la seconda parentesi mi diventa : $(x - (1+t \pm \sqrt(t^2+2t+25)) /2)$ che non è proprio agevole...
(PS scusate per le formule ma è il mio primo post =) )
Di solito escono degli autovalori che sono numeri ed uno dipendente dal parametro $t$ che risulta di primo grado, qui invece ho due espressioni non di grado $1$ in $t$ da uguagliare a $1$.
La mia domanda è: devo per forza applicare il solito procedimento o c'è un modo più facile per imporre che l'espressione in $t$ sia uguale a $1$?
poi, siccome ho due espressioni in $t$ (una col più ed una col meno davanti alla parentesi devo vedere che succede se anche quelle due sono tra loro uguali?
Penso di non essere stato chiarissimo ma è il meglio che riesco a fare
grazie in anticipo a chiunque deciderà di aiutarmi
[mod="cirasa"]Ho modificato le formule.[/mod]
Data la matrice :
$A=((1,0,0,2),(0,1,0,2),(0,0,1,2),(2,2,2,t))$
mi viene chiesto di studiarne la diagonalizzabilità al variare di $t$ in $RR$ e di verificare che per $t = 0$ A è diagonalizzabile.
Ora, calcolando come di consueto il polinomio caratteristico ottengo: $P(x)= (1-x)^2 * (x^2 - (1+t)x -12)$ e qui esce il mio problema...
chiaramente ho già un autovalore con molteplicità algebrica due che è x=1 ma non riesco a scomporre il trinomio di secondo grado in maniera semplice, se cioè scompongo la seconda parentesi mi diventa : $(x - (1+t \pm \sqrt(t^2+2t+25)) /2)$ che non è proprio agevole...
(PS scusate per le formule ma è il mio primo post =) )
Di solito escono degli autovalori che sono numeri ed uno dipendente dal parametro $t$ che risulta di primo grado, qui invece ho due espressioni non di grado $1$ in $t$ da uguagliare a $1$.
La mia domanda è: devo per forza applicare il solito procedimento o c'è un modo più facile per imporre che l'espressione in $t$ sia uguale a $1$?
poi, siccome ho due espressioni in $t$ (una col più ed una col meno davanti alla parentesi devo vedere che succede se anche quelle due sono tra loro uguali?
Penso di non essere stato chiarissimo ma è il meglio che riesco a fare
grazie in anticipo a chiunque deciderà di aiutarmi
[mod="cirasa"]Ho modificato le formule.[/mod]
Risposte
Innanzitutto controlla i calcoli. Un programma al pc mi dice che il polinomio caratteristico della tua matrice è $P(x)=(1-x)^2(x^2-(t+1)x+t-12)$.
Comunque se vuoi solo sapere se è diagonalizzabile o meno, in questo caso ti basta sapere se per ogni autovalore la molteplicità geometrica coincide con la molteplicità geometrica.
Se hai un autovalore con molteplicità algebrica $=1$, allora ovviamente essa coinciderà con la molteplicità geometrica (la molteplicità algebrica di un autovalore è $ge 1$ e $le$ della molteplicità algebrica).
Quindi devi solo studiare la molteplicità geometrica dell'autovalore con molteplicità algebrica $ge 2$ (ovvero devi determinare la dimensione dell'autospazio corrispondente).
P.S. Benvenuto/a
Comunque se vuoi solo sapere se è diagonalizzabile o meno, in questo caso ti basta sapere se per ogni autovalore la molteplicità geometrica coincide con la molteplicità geometrica.
Se hai un autovalore con molteplicità algebrica $=1$, allora ovviamente essa coinciderà con la molteplicità geometrica (la molteplicità algebrica di un autovalore è $ge 1$ e $le$ della molteplicità algebrica).
Quindi devi solo studiare la molteplicità geometrica dell'autovalore con molteplicità algebrica $ge 2$ (ovvero devi determinare la dimensione dell'autospazio corrispondente).
P.S. Benvenuto/a
Non vorrei confondermi, ma per concludere che la matrice in questione è diagonalizzabile, non è sufficiente osservare che è simmetrica per ogni valore del parametro ?
Sono d'accordo con te, Relegal.
Usando il teorema spettrale si conclude in un attimo [size=59]e in effetti non me ne ero accorto[/size]
Ma non so se anto.massy lo ha studiato...
[size=59]vabbè mi sto arrampicando sugli specchi[/size]
Usando il teorema spettrale si conclude in un attimo [size=59]e in effetti non me ne ero accorto[/size]
Ma non so se anto.massy lo ha studiato...
[size=59]vabbè mi sto arrampicando sugli specchi[/size]
Bè, mi sembra davvero un esercizio pensato per essere risolto con il teorema spettrale!
Vi ringrazio per la conferma.
Riconosco di essermi accorto della simmetria della matrice solo perchè sto studiando argomenti di fisica matematica dove compaiono molte matrici simmetriche e quindi ho l'occhio un po' allenato, altrimenti . . . Non ci avrei fatto caso !
Riconosco di essermi accorto della simmetria della matrice solo perchè sto studiando argomenti di fisica matematica dove compaiono molte matrici simmetriche e quindi ho l'occhio un po' allenato, altrimenti . . . Non ci avrei fatto caso !
Prego.
Grazie mille a tutti... in effetti sabato sera mentre ero fuori con gli amici mi è venuta l'illuminazone sulla sua simmetricità... però purtroppo ho potuto collegarmi qui solo adesso... grazie infinite a tutti per le risposte 
Figurati, l'importante è che tu abbia risolto !
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo