Diagonalizzazione Matrice

[_peter_]

ciao ragazzi, volevo chiedervi se la seguente matrice è diagonalizzabile:
$ ( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 3 , 0 , -1 ) ) $
grazie in anticipo!

[walter891]

siccome la matrice è triangolare gli autovalori si leggono subito e sono $2,2,-1$, devi verificare che per l'autovalore multiplo $2$ la moltiplicità algebrica coincida con la molteplicità geometrica, troverai che è proprio così quindi la matrice è diagonalizzabile

[_peter_]

per il valore di 2 ha molteplicità algebrica 2 e quella geometrica? come faccio a determinarla?

[Filippo931]

Per calcolare la molteplicità geometrica dell'autovalore 2 devi trovare la dimensione dell'autospazio relativo al medesimo autovalore. Hai essenzialmente due modi per farlo. Quello più diretto e probabilmente meno laborioso è questo:
- mg(2)= 3-rk(A-2In) , dove 3 corrisponde all'ordine della matrice data, mentre In è la matrice identita.

[21zuclo]

e ricorda questa proposizione sulla molteplicità algebrica e geometrica

la molteplicità algebrica di un autovalore è sempre maggiore o uguale alla sua molteplicità geometrica

[_peter_]

ok stando alla formula mg(2)= 3-rk(A-2In) la molteplicità geometrica risulta 1?? e quindi non è uguale alle molteplicità algebrica

[Smoke666]

$Rk(A-2I) = 1$, non 2... la matrice è diagonalizzabile infatti!

[_peter_]

ok quindi non è diagonalizzabile quando la molteplicità geometrica è maggiore di quella algebrica??

[21zuclo]

"peter9":ok quindi non è diagonalizzabile quando la molteplicità geometrica è maggiore di quella algebrica??

Ti dico questo teorema, messo in una forma più semplice

Per un endomorfismo $f$ le seguenti condizioni sono equivalenti

a. $f$ è diagonalizzabile
b. Esiste una base formata da autovettori
c. il polinomio caratteristico di $f$ ammette solo radici reali e $\forall \lambda$ (autovalore) di $f$ si ha che la molteplicità algebrica è uguale alla molteplicità geometrica

(ho omesso la simbologia, siccome può variare)

[_peter_]

ecco dice che la molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica, ma per λ=2 si ha molteplicità aritmetica uguale a 2 e molteplicità geometrica uguale a 1 e quindi non sono uguali!
abbiate pazienza ragazzi ma sto cercando di capire bene

[Smoke666]

Forse non hai capito cos'è la molteplicità geometrica allora.... Ti ho mostrato che è uguale a 2, e la matrice è di conseguenza diagonalizzabile. Tu perchè sostieni che non sia così? Mostraci "i tuoi conti" e vediamo di trovare l'errore

[_peter_]

io ho semplicemente applicato la formula cioè so che la matrice ha caratteristica 3 e molteplicità aritmetica 2
quindi 3-2=1
come fa a tornarti 2? applico male la formula?

[Smoke666]

Era come pensavo, forse non ti è chiara la definizione di rango. Il rango è il massimo numero di righe (o colonne) linearmenti indipendenti. Ciò detto la matrice che devi considerare ora è:

$A-2I = ((0,0,0),(0,0,0),(3,0,1))$

Quanto vale il rango? E alla luce di ciò, quanto vale la molteplicità geometrica?

[_peter_]

eccooo ora tutto torna, grazie mille!!!

[Mr.Mazzarr]

Riuppo questo topic per un dubbio teorico: dire che una matrice è diagonalizzabile se ha $n$ autovalori distinti, vuol dire che il numero degli autovalori deve essere equivalente al numero di righe e colonne e devono essere uno diverso dall'altro?

Ovvero, una matrice del genere:

$A = ((3, 0, 0),(1, 3, 0),(1,0,2))$

Non dovrebbe essere diagonalizzabile, giusto? In quanto ha due autovalori di cui uno a molteplicità algebrica pari a $2$.

[Smoke666]

No, è valida l'affermazione SE ha n autovalori distinti, allora è SICURAMENTE diagonalizzabile. Se ci sono autovalori con molteplicità algebrica > 1, invece, bisogna studiare la molteplicità geometrica. E' diagonalizzabile se e solo se le due molteplicità coincidono.