Diagonalizzazione forma bilineare
Ciao a tutti, vorrei controllare di aver risolto correttamente questo esercizio di cui, purtroppo, non posso vedere la soluzione.
Allora, data $f in text{Bil}(bbbR^3)$ la cui matrice associata rispetto alla base canonica è
$A=((1,-2,1),(-2,4,3),(-1,3,0))$
devo controllare che $B={(1,0,0),(3,1,1),(1,0,1)}$ sia una base diagonalizzante. Per farlo definisco la matrice associata all'identità di V dalla base canonica a B data da
$M=((1,3,1),(0,1,0),(0,1,1))$;
so che matrici associate alla stessa forma bilineare rispetto a basi diverse sono tra loro congruenti e quindi per aver la verifica che cerco calcolo
$M^t A M=C$
dove C dovrebbe essere la matrice associata a f rispetto alla nuova base B e quindi, se ho fatto tutto corretto, diagonale.
Svolgendo i calcoli ho che
$C=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1))$,
ciò significa che la segnatura di f è (2,1) e quindi non è un prodotto scalare. Vi sembra corretto?
Un'altra cosa che volevo cheidere... gli esercizi che mi trovo a risolvere sono del tipo "data la forma bilineare con questa matrice associata la base seguente è diagonalizzante?" ma il fatto è che ho più alternative tra le quali scegliere come basi; dunque per capire qual'è la risposta corretta posso fare il ragionamento precedente oppure calcolare manualmente le immagini delle coppie di vettori della base in esame ma entrambe le cose sono piuttosto lunghe... altre idee?
Allora, data $f in text{Bil}(bbbR^3)$ la cui matrice associata rispetto alla base canonica è
$A=((1,-2,1),(-2,4,3),(-1,3,0))$
devo controllare che $B={(1,0,0),(3,1,1),(1,0,1)}$ sia una base diagonalizzante. Per farlo definisco la matrice associata all'identità di V dalla base canonica a B data da
$M=((1,3,1),(0,1,0),(0,1,1))$;
so che matrici associate alla stessa forma bilineare rispetto a basi diverse sono tra loro congruenti e quindi per aver la verifica che cerco calcolo
$M^t A M=C$
dove C dovrebbe essere la matrice associata a f rispetto alla nuova base B e quindi, se ho fatto tutto corretto, diagonale.
Svolgendo i calcoli ho che
$C=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1))$,
ciò significa che la segnatura di f è (2,1) e quindi non è un prodotto scalare. Vi sembra corretto?
Un'altra cosa che volevo cheidere... gli esercizi che mi trovo a risolvere sono del tipo "data la forma bilineare con questa matrice associata la base seguente è diagonalizzante?" ma il fatto è che ho più alternative tra le quali scegliere come basi; dunque per capire qual'è la risposta corretta posso fare il ragionamento precedente oppure calcolare manualmente le immagini delle coppie di vettori della base in esame ma entrambe le cose sono piuttosto lunghe... altre idee?
Risposte
Procediamo in ordine per vedere un pochino chiaro.
La forma bilineare è simmetrica e tu hai scritto la matrice rispetto alla base canonica.
Di questo fatto sei convinto? E' proprio questa la base che diagonalizza la matrice $A$?
Sei sicuro di aver fatto i calcoli e viene la matrice $C$?
Visto che ci sono più basi, fatti nascere qualche sospetto.
"marco.bre":
Ciao a tutti, vorrei controllare di aver risolto correttamente questo esercizio di cui, purtroppo, non posso vedere la soluzione.
Allora, data $f in text{Bil}(bbbR^3)$ la cui matrice associata rispetto alla base canonica è
$A=((1,-2,1),(-2,4,3),(-1,3,0))$
La forma bilineare è simmetrica e tu hai scritto la matrice rispetto alla base canonica.
devo controllare che $B={(1,0,0),(3,1,1),(1,0,1)}$ sia una base diagonalizzante.
Di questo fatto sei convinto? E' proprio questa la base che diagonalizza la matrice $A$?
Per farlo definisco la matrice associata all'identità di V dalla base canonica a B data da
$M=((1,3,1),(0,1,0),(0,1,1))$;
so che matrici associate alla stessa forma bilineare rispetto a basi diverse sono tra loro congruenti e quindi per aver la verifica che cerco calcolo
$M^t A M=C$
dove C dovrebbe essere la matrice associata a f rispetto alla nuova base B e quindi, se ho fatto tutto corretto, diagonale.
Svolgendo i calcoli ho che
$C=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1))$,
Sei sicuro di aver fatto i calcoli e viene la matrice $C$?
ciò significa che la segnatura di f è (2,1) e quindi non è un prodotto scalare. Vi sembra corretto?
Un'altra cosa che volevo cheidere... gli esercizi che mi trovo a risolvere sono del tipo "data la forma bilineare con questa matrice associata la base seguente è diagonalizzante?" ma il fatto è che ho più alternative tra le quali scegliere come basi; dunque per capire qual'è la risposta corretta posso fare il ragionamento precedente oppure calcolare manualmente le immagini delle coppie di vettori della base in esame ma entrambe le cose sono piuttosto lunghe... altre idee?
Visto che ci sono più basi, fatti nascere qualche sospetto.
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