Diagonalizzazione ed endomorfismi simmetrici

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sono in fase pre-esame di geometria , mi sapreste dare una mano??

allora le domande che vi pongo sono:
- per ogni matrice E quadrata reale, la matrice E E (trasposta) è diagonalizzabile
è vero o falso? perchè?

- la somma degli autospazi di un endomorfismo simmetrico su V è sempre l'intero spazio V.
- vero o falso? perchè?

grazie a tutti !

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si hai ragione... grazie per il consiglio... ho scritto di fretta senza badare troppo alla forma

allora per la prima intendo $E*E^T$, per ogni matrice reale E quadrata..

so che è una matrice diagonalizzabile, vuol dire che ci troviamo davanti una matrice simile ad una matrice diagonale (ovvero che solo nella diagonale principale sono presenti dei valori) .. (correggetemi eh? )
..nel libro non riesco a trovare nulla che mi possa aiutare ad andare avanti..

per la seconda, bhè credo che avrei bisogno di un ragionamento per filo e per segno..

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ho fatto un errore di battitura, il tipo della matrice è $E^T*E$

comunque, prendendo ad esempio la matrice 2x2 ottengo:

$ ((a, c), (b,d))$ $ ((a,b),(c,d))$ = $ ((a^2+c^2, ab+cd), ( ab+cd, b^2+d^2))$

anche svolgendo i calcoli per la matrice 3x3 si ottiene qualcosa di simile..

..sono delle matrici simmetriche, giusto?

ok, però le matrici diagonali, hanno $a_{i,j}$ = 0 per ogni i$!=$j

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quindi per il teorema spettrale, ogni matrice simmetrica è diagonalizzabile attraverso una matrice ortogonale..

In effetti questo teorema non l'ho mai sentito e nel libro (uso il Sanini, Lezioni di Geometria) non ho trovato davvero nulla..

comunque grazie per avermi portato alla soluzione, senza dirmi tutto dall'inizio, così è più efficace.

Ora, saresti così gentile da aiutarmi (anche solo l'imput) per il secondo quesito??

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Nel libro guardo, mi da fastidio ora non vedere certe cose..

allora per la tua domanda, in generale il numero e la dimensione degli autospazi la trovo attraverso lo studio di autovalori e autovettori, con le soluzioni del polinomio caratteristico

[franced]

Data una matrice $E$, la matrice $E^T * E$ è simmetrica.
Per dimostrarlo basta considerare la trasposta:

$(E^T * E)^T = E^T *(E^T)^T = E^T * E$ .

Lo stesso discorso vale per la matrice $E * E^T$ .



Si osservi che $(A*B)^T = B^T A^T$ .

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@ Sergio..allora se ho 3 autovalori...dovrei avere 3 autospazi, di dimensione 1.

Gli autovalori di solito sono pari al valore della dimensione dello spazio

..però non sono molto sicura su questo.