Diagonalizzazione di una proiezione

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2 gen 2015, 12:30

Sia $\displaystyle A $ una matrice a coefficienti in R, e sia A una proiezione, ovvero $\displaystyle A^2 = A $ . Dimostrare:

-1 Che 0 e 1 sono gli unici autovalori possibili di A
-2 Che A diagonalizza

Io ho provato a fare una dimostrazione ma mi sembra un po' troppo banale, potreste darmi una mano?

Ecco cosa ho pensato:

1- Se $\displaystyle A^2 = A $ allora $\displaystyle L_A = L_A^2 $ perciò se $\displaystyle t $ è un autovalore di A esisterà un $\displaystyle v \in R^n $ tale che $\displaystyle Av = tv $ ma allora si ha che $\displaystyle Av = AAv = A(Av) = A( tv ) = tAv = t^2 v$ perciò $\displaystyle t = 1 \vee t = 0 $
2- Occorre mostrare che $\displaystyle KerA \oplus Ker( A - I_n ) = R^n $.
Per ipotesi si ha che $\displaystyle Av = AAv \forall v \in R^n $ allora $\displaystyle AAv - Av = 0 \forall v \in R^n $ ovvero $\displaystyle ( A - I_n )Av = 0 $ il che implica che $\displaystyle v \in KerA \vee Av \in Ker( A - I_n ) $. Sia adesso $\displaystyle j = dimKerA $ allora si ha che $\displaystyle dimImA = n - j $ e poiché $\displaystyle Av = 0 \vee Av \in ker( A - I_n ) $ si deduce che $\displaystyle dimImA = dimKer( A - I_n ) $ Allora si ha che $\displaystyle dimKerA + dimKer( A - I_n ) = n $ e, poiché la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori di A è uguale ad n, e poiché la molteplicità geometrica degli autovalori di A è sempre minore o uguale a quella algebrica si deduce che $\displaystyle M_g ( 0 ) = M_a ( 0 ) $ e $\displaystyle M_g ( 1 ) = M_a ( 1 ) $. Perciò A è diagonalizzabile.