Diagonalizzazione di una matrice?
PROBLEMA I
nelle ipostesi del teorema spettrale: $A=UDU^T$ (1) , D matirce diagonale
Poi, data una matrice A simmetrica esiste una matrice ortogonale Q t.c. $Q^TAQ=D$. D matrice diagonale (2)
Mi chiedo, le due scritture sono equivalenti??
Io ho provato a dimostrarlo, banalmente moltiplicando ambo i membri della (1), a sinistra per $U^T$ e a destra per $U$. Passo così dalla (1) alla (2) E' corretto?
PROBLEMA II
Analogamente a prima. Per la diagonalizzazione di una matrice. Nelle ipotesi che N sia invertibile:
Diagonalizzazione di una matrice A: $A=N^-1DN$ (3)
esiste un teorema che ci garantische che A è diagonalizzabile se, e solo se, esiste T invertibile t.c. $T^-1AT=D$, D matirce diagonale(4)
T ed N sono uguali? Per dimostrarlo ho fatto come prima, è corretto?
PROBLEMA III
una diagonalizzazione secondo il teorema spettrale (problema I.1) è diversa da una diagonalizzazione secondo il problema II.4? Nel senso che: U e T sono diverse tra loro?
Io ho ragionato cosi:
se A è simmetrica vale il teorema spettrale quindi, dato che U è ortogonale ($U^T=U^-1$), segue che $U=T^-1$ e $U^T=T$.
E infatti le colonne di U sono gli autovettori di A e le righe di T sono gli autovettori di A.
Se A non è simmetrica, ma è diagonalizzabile non vale più il teorema spettrale e quindi non posso fare alcun confronto. E' giusto il ragionamento?
Scusate se ve lo sto chiedendo in tutte le salse, ma sto leggendo 2 libri, 2 dispense, 2 blocchi d appunti ma da nessuna parte è spiegato in modo decente
nelle ipostesi del teorema spettrale: $A=UDU^T$ (1) , D matirce diagonale
Poi, data una matrice A simmetrica esiste una matrice ortogonale Q t.c. $Q^TAQ=D$. D matrice diagonale (2)
Mi chiedo, le due scritture sono equivalenti??
Io ho provato a dimostrarlo, banalmente moltiplicando ambo i membri della (1), a sinistra per $U^T$ e a destra per $U$. Passo così dalla (1) alla (2) E' corretto?
PROBLEMA II
Analogamente a prima. Per la diagonalizzazione di una matrice. Nelle ipotesi che N sia invertibile:
Diagonalizzazione di una matrice A: $A=N^-1DN$ (3)
esiste un teorema che ci garantische che A è diagonalizzabile se, e solo se, esiste T invertibile t.c. $T^-1AT=D$, D matirce diagonale(4)
T ed N sono uguali? Per dimostrarlo ho fatto come prima, è corretto?
PROBLEMA III
una diagonalizzazione secondo il teorema spettrale (problema I.1) è diversa da una diagonalizzazione secondo il problema II.4? Nel senso che: U e T sono diverse tra loro?
Io ho ragionato cosi:
se A è simmetrica vale il teorema spettrale quindi, dato che U è ortogonale ($U^T=U^-1$), segue che $U=T^-1$ e $U^T=T$.
E infatti le colonne di U sono gli autovettori di A e le righe di T sono gli autovettori di A.
Se A non è simmetrica, ma è diagonalizzabile non vale più il teorema spettrale e quindi non posso fare alcun confronto. E' giusto il ragionamento?
Scusate se ve lo sto chiedendo in tutte le salse, ma sto leggendo 2 libri, 2 dispense, 2 blocchi d appunti ma da nessuna parte è spiegato in modo decente
Risposte
Guarda mi viene a mente il mio primo anno di università:
quando si dice che una matrice simmetrica $A$ è diagonalizzabile su $RR$ mediante
una trasformazione ortogonale non significa necessariamente che gli autovettori di $A$
siano ortogonali.
Ciò succede necessariamente solo quando gli autovalori sono tutti distinti.
Di fronte ad un esercizio con una matrice avente mi ricordo 2 autovalori uguali, mi
vennero fuori due autovettori non ortogonali relativi allo stesso autovalore..
Il teorema spettrale dice che è possibile trovare una base ortogonale, ma non è che
vada male un'altra che non lo è.
Se trovo una base che non è ortogonale, si può sempre modificare in modo tale da farla
risultare ortogonale: per fare questo è sufficiente lavorare sugli autospazi relativi agli
autovalori aventi molteplicità maggiore di 1.
Ripeto, se gli autovalori sono tutti distinti, gli autovettori "nascono" già ortogonali.
Mi sa che mi sono dilungato troppo!
Francesco Daddi
quando si dice che una matrice simmetrica $A$ è diagonalizzabile su $RR$ mediante
una trasformazione ortogonale non significa necessariamente che gli autovettori di $A$
siano ortogonali.
Ciò succede necessariamente solo quando gli autovalori sono tutti distinti.
Di fronte ad un esercizio con una matrice avente mi ricordo 2 autovalori uguali, mi
vennero fuori due autovettori non ortogonali relativi allo stesso autovalore..
Il teorema spettrale dice che è possibile trovare una base ortogonale, ma non è che
vada male un'altra che non lo è.
Se trovo una base che non è ortogonale, si può sempre modificare in modo tale da farla
risultare ortogonale: per fare questo è sufficiente lavorare sugli autospazi relativi agli
autovalori aventi molteplicità maggiore di 1.
Ripeto, se gli autovalori sono tutti distinti, gli autovettori "nascono" già ortogonali.
Mi sa che mi sono dilungato troppo!
Francesco Daddi
Il procedimento di Gram-Schmidt permette poi di rendere ortogonali autovettori che non lo siano in quanto relativi a autovalori di molteplicità algebrica > 1 .
"Camillo":
Il procedimento di Gram-Schmidt permette poi di rendere ortogonali autovettori che non lo siano in quanto relativi a autovalori di molteplicità algebrica > 1 .
Infatti, è quello che dicevo io..
E come me lo ricordo bene, pensavo di non aver capito niente sul teorema spettrale!!
Non so quanti sappiano questa cosa, quando studiavo geometria 1 i miei amici non
si ponevano troppi problemi..
Ma se uno studia matematica, i problemi deve porseli, altrimenti che gusto c'è?
Francesco Daddi
questa cosa la sapevo.
Solo non so se le considerazioni che ho fatto sono corrette
Solo non so se le considerazioni che ho fatto sono corrette
"raff5184":
questa cosa la sapevo.
Solo non so se le considerazioni che ho fatto sono corrette
Non mi sorprende, sul mio libro non c'era un esempio illuminante.
Quando un giorno scriverò il mio libro di algebra lineare non mancherà
di certo una sezione su questo argomento, corredato da tutti gli esempi
possibili..
Ma il tempo uno dove lo trova per scrivere un libro?
Bisognerebbe prima di tutto smettere di frequentare il forum, ma mi ci sono
già affezionato!
Francesco Daddi
"franced":
[quote="raff5184"]questa cosa la sapevo.
Solo non so se le considerazioni che ho fatto sono corrette
Non mi sorprende, sul mio libro non c'era un esempio illuminante.
Quando un giorno scriverò il mio libro di algebra lineare non mancherà
di certo una sezione su questo argomento, corredato da tutti gli esempi
possibili..
Ma il tempo uno dove lo trova per scrivere un libro?
Bisognerebbe prima di tutto smettere di frequentare il forum, ma mi ci sono
già affezionato!
Francesco Daddi[/quote]
si ma le mie domande??
aspetterò il tuo libro
"raff5184":
PROBLEMA I
nelle ipostesi del teorema spettrale: $A=UDU^T$ (1) , D matirce diagonale
Poi, data una matrice A simmetrica esiste una matrice ortogonale Q t.c. $Q^TAQ=D$. D matrice diagonale (2)
Mi chiedo, le due scritture sono equivalenti??
Io ho provato a dimostrarlo, banalmente moltiplicando ambo i membri della (1), a sinistra per $U^T$ e a destra per $U$. Passo così dalla (1) alla (2) E' corretto?
PROBLEMA II
Analogamente a prima. Per la diagonalizzazione di una matrice. Nelle ipotesi che N sia invertibile:
Diagonalizzazione di una matrice A: $A=N^-1DN$ (3)
esiste un teorema che ci garantische che A è diagonalizzabile se, e solo se, esiste T invertibile t.c. $T^-1AT=D$, D matirce diagonale(4)
T ed N sono uguali? Per dimostrarlo ho fatto come prima, è corretto?
PROBLEMA III
una diagonalizzazione secondo il teorema spettrale (problema I.1) è diversa da una diagonalizzazione secondo il problema II.4? Nel senso che: U e T sono diverse tra loro?
Io ho ragionato cosi:
se A è simmetrica vale il teorema spettrale quindi, dato che U è ortogonale ($U^T=U^-1$), segue che $U=T^-1$ e $U^T=T$.
E infatti le colonne di U sono gli autovettori di A e le righe di T sono gli autovettori di A.
Se A non è simmetrica, ma è diagonalizzabile non vale più il teorema spettrale e quindi non posso fare alcun confronto. E' giusto il ragionamento?
Scusate se ve lo sto chiedendo in tutte le salse, ma sto leggendo 2 libri, 2 dispense, 2 blocchi d appunti ma da nessuna parte è spiegato in modo decente
Ho risolto. Ci ho studiato un pò. I ragionamenti sono corretti, ho trovato diversi riscontri e dimostrazioni identiche alla mia.
L'unica incertezza è se, nelle ipotesi del t. spettrale reale, è equivalente decomporre A in questi modi:
$A=GDG^T$
oppure
$A=F^TDF$
(ho trovato entrambe le forme)
Di conseguenza è corretto anche il terzo ragionamento, infatti, se è lecito scrivere $A=F^TDF$, posso scrivere anche:
$A=F^-1DF$
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