Diagonalizzazione di un endomorfismo
salve a tutti.
il problema è:
sia $\varphi$ : $R^3$ ----> $R^3$ :
$\varphi$ ($a_1$, $a_2$, $a_3$) = (2$a_1$ + k$a_2$ - 3$a_3$, 6$a_1$ + 3$a_2$ +4$a_3$, -$a_3$)
nel caso in cui k=1 l'endomorfismo è diagonalizzabile??
in caso di risposta affermativa diagonalizzarlo.
allora io ho scritto lamatrice associata a tale endomorfismo:
$((2,1,-3),(6,3,4),(0,0,-1))$
scrivo il polinomiol caratteristico che è uguale al determinante della matrice:
$((2-lambda,1,-3),(6,3-lambda,4),(0,0,-1-lambda))$
esso ruisulta essere: uguale a (svolgo tutti i calcoli) : (-1 - $\lambda$)*($\lambda$ - 5)*($\lambda$)
gli autovalori sono le radici del pol. caratteristico e sono
$\lambda$ = -1
$\lambda$ = 5
$\lambda$= 0
e scrivo le rispettive molteplicità algebriche:
m.a. (-1) = 1
m.a. (5)= 1
m.a. (0) = 1
poi determino gli autospazi e mi trovo che :
l'autospazio di -1
$V_-1$ = (-2/3a , 5a, a)
e una sua base è [(-2/3, 5, 1)]
la molteplicità geomtrica di -1 è 2
Quando poi vado a determianre l'autospazio relativo a 5 mi viene il solo vettore nullo...
è possibile una cosa del genere ...????
Quali conclusioni traggo???
RISPONDETE SE POTETE GRAZIE MILLE!!!!
il problema è:
sia $\varphi$ : $R^3$ ----> $R^3$ :
$\varphi$ ($a_1$, $a_2$, $a_3$) = (2$a_1$ + k$a_2$ - 3$a_3$, 6$a_1$ + 3$a_2$ +4$a_3$, -$a_3$)
nel caso in cui k=1 l'endomorfismo è diagonalizzabile??
in caso di risposta affermativa diagonalizzarlo.
allora io ho scritto lamatrice associata a tale endomorfismo:
$((2,1,-3),(6,3,4),(0,0,-1))$
scrivo il polinomiol caratteristico che è uguale al determinante della matrice:
$((2-lambda,1,-3),(6,3-lambda,4),(0,0,-1-lambda))$
esso ruisulta essere: uguale a (svolgo tutti i calcoli) : (-1 - $\lambda$)*($\lambda$ - 5)*($\lambda$)
gli autovalori sono le radici del pol. caratteristico e sono
$\lambda$ = -1
$\lambda$ = 5
$\lambda$= 0
e scrivo le rispettive molteplicità algebriche:
m.a. (-1) = 1
m.a. (5)= 1
m.a. (0) = 1
poi determino gli autospazi e mi trovo che :
l'autospazio di -1
$V_-1$ = (-2/3a , 5a, a)
e una sua base è [(-2/3, 5, 1)]
la molteplicità geomtrica di -1 è 2
Quando poi vado a determianre l'autospazio relativo a 5 mi viene il solo vettore nullo...
è possibile una cosa del genere ...????
Quali conclusioni traggo???
RISPONDETE SE POTETE GRAZIE MILLE!!!!
Risposte
e quindi la molteplicita geomtrica di 5 è3.
ma quando vado a calcolare l'autosapzio reltaivo all'autovalore 0 mi viene anche lì il solo vettore nullo e quindi l'autovalore ha moltepl.geometrica 3.
poi verifico che le molteplicita algebrica e geometrica di ogni autovalore non coincidono... e che la somma della molteplicità geomtriche non è uguale a n...
QUINDI CIO VUOL DIRE CHE L'ENDOMORFISMO NON è DIAGONALIZZABILE??
AIUTATEMI VI PREGO CHE TRA POCHISSIMI GIORNI HO L'ESAME-....
GRAZIE MILLE
ma quando vado a calcolare l'autosapzio reltaivo all'autovalore 0 mi viene anche lì il solo vettore nullo e quindi l'autovalore ha moltepl.geometrica 3.
poi verifico che le molteplicita algebrica e geometrica di ogni autovalore non coincidono... e che la somma della molteplicità geomtriche non è uguale a n...
QUINDI CIO VUOL DIRE CHE L'ENDOMORFISMO NON è DIAGONALIZZABILE??
AIUTATEMI VI PREGO CHE TRA POCHISSIMI GIORNI HO L'ESAME-....
GRAZIE MILLE
ALLORA per determianre $V_5$
la matrice è:
$((2-5,1,-3),(6,3-5,4),(0,0,-1-5))$ cioè $((-3,1,-3),(6,2,4),(0,0,-6))$
che ridotta a scalini è
$((-3,1,-3),(0,4,-2),(0,0,-6))$
che corrisponde al sistema
$\{(-3$a_1$ + $a_2$ - 3$a_3$ = 0),(0 + 4$a_2$ - 2$a_3$ = 0),(0 + 0 - 6$a_3$ = 0):}$
e quindi avrei che
$a_1$ = 0
$a_2$ =0
$a_3$ = 0
oppure mi sbaglio??
se sbaglio correggetemi grazie
la matrice è:
$((2-5,1,-3),(6,3-5,4),(0,0,-1-5))$ cioè $((-3,1,-3),(6,2,4),(0,0,-6))$
che ridotta a scalini è
$((-3,1,-3),(0,4,-2),(0,0,-6))$
che corrisponde al sistema
$\{(-3$a_1$ + $a_2$ - 3$a_3$ = 0),(0 + 4$a_2$ - 2$a_3$ = 0),(0 + 0 - 6$a_3$ = 0):}$
e quindi avrei che
$a_1$ = 0
$a_2$ =0
$a_3$ = 0
oppure mi sbaglio??
se sbaglio correggetemi grazie
HO SBAGLIATO SERGIO HO SBAGLIATO MI SONO APPENA ACCORTO DELL'ERRRORE
ORA PROVVEDO SUBITO E TI POSTO LA RISPOSTA ESATTA
ABBI UN MOMENTO DIPAZIENZA !
ORA PROVVEDO SUBITO E TI POSTO LA RISPOSTA ESATTA
ABBI UN MOMENTO DIPAZIENZA !
allora ....
mi verrebbe che
$V_5$ é (-1/3a, a, 0)
e la sua molteplicita geometrica è 1
quindi praticamente la moltepl.geomtrica si calcola un po come la dimensione del ker?? cioè n- rango della matrice ridotta a scalini ..??
vero o dico una totale fesseria?..ipotizzo ciò perchè la molteplicita geomtrica è la dimensione dello spazio dell'autospazio...che l'insieme delle soluzioni de sistema omogeneo dicui ho parlato nel mio primo post...
mentre $V_0$ è uguale a: (-1/2a, a, 0) e anche qui la molteplicità geometrica è 1.
ORA HO FATTO BENE SERGIO???
mi verrebbe che
$V_5$ é (-1/3a, a, 0)
e la sua molteplicita geometrica è 1
quindi praticamente la moltepl.geomtrica si calcola un po come la dimensione del ker?? cioè n- rango della matrice ridotta a scalini ..??
vero o dico una totale fesseria?..ipotizzo ciò perchè la molteplicita geomtrica è la dimensione dello spazio dell'autospazio...che l'insieme delle soluzioni de sistema omogeneo dicui ho parlato nel mio primo post...
mentre $V_0$ è uguale a: (-1/2a, a, 0) e anche qui la molteplicità geometrica è 1.
ORA HO FATTO BENE SERGIO???
"Sergio":
Ok. Ma perché urli???
perdonami non urlo :d ma non mi ero accorto di avere rimasto inserito il tasto delle lettere maiuscole
scusami.. 
ok sergio grazie... se dopo posto la risposta.. ci sei per poterle aventualmente vedere ?
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