Diagonalizzazione di quadriche mediante prodotti notevoli
Devo discutere il seguente quesito: i prodotti notevoli $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ e $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ sono sufficienti per diagonalizzare quadriche proiettive con $n$ indeterminate? Studiare i casi in cui lo spazio proiettivo in cui la quadrica è definita sia costruito su $RR$, $CC$.
Secondo me, la risposta è affermativa (ho provato a cercare controesempi, ma non ne ho trovati).
Per adesso considero il caso reale. L'unica cosa che mi è venuta in mente è di considerare l'insieme dei polinomi omogenei di secondo grado, che descrivono algebricamente le quadriche. Dalla teoria so che ogni polinomio di questo tipo può essere espresso nella forma $X^T*A*X=0$ (perdonatemi l'abuso di notazione), dove $A$ è una matrice simmetrica di ordine $n$ e $X$ è il vettore di $n$ elementi in cui figurano le indeterminate del polinomio. Adesso come potrei procedere?
Per maggiore chiarezza, riporto un esempio di cosa intendo per diagonalizzazione mediante prodotti notevoli. Sia data $\mathcal{Q}:\ xz+2y^2=0$ nel piano proiettivo reale. Vale che:
$X^T*((0,0,1/2),(0,2,0),(1/2,0,0))*X=0$
Impongo che $xz+2y^2=(x_1+z_1)(x_1-z_1)+y_1^2=x_1^2+y_1^2-z_1^2$, da cui:
$((x),(y),(z))=((1,0,1),(0,1/sqrt(2),0),(1,0,-1))*((x_1),(y_1),(z_1))$
In questo modo, con un opportuno cambio di variabile, ho diagonalizzato $\mathcal{Q}$.
Qualche suggerimento per il problema di partenza?
Secondo me, la risposta è affermativa (ho provato a cercare controesempi, ma non ne ho trovati).
Per adesso considero il caso reale. L'unica cosa che mi è venuta in mente è di considerare l'insieme dei polinomi omogenei di secondo grado, che descrivono algebricamente le quadriche. Dalla teoria so che ogni polinomio di questo tipo può essere espresso nella forma $X^T*A*X=0$ (perdonatemi l'abuso di notazione), dove $A$ è una matrice simmetrica di ordine $n$ e $X$ è il vettore di $n$ elementi in cui figurano le indeterminate del polinomio. Adesso come potrei procedere?
Per maggiore chiarezza, riporto un esempio di cosa intendo per diagonalizzazione mediante prodotti notevoli. Sia data $\mathcal{Q}:\ xz+2y^2=0$ nel piano proiettivo reale. Vale che:
$X^T*((0,0,1/2),(0,2,0),(1/2,0,0))*X=0$
Impongo che $xz+2y^2=(x_1+z_1)(x_1-z_1)+y_1^2=x_1^2+y_1^2-z_1^2$, da cui:
$((x),(y),(z))=((1,0,1),(0,1/sqrt(2),0),(1,0,-1))*((x_1),(y_1),(z_1))$
In questo modo, con un opportuno cambio di variabile, ho diagonalizzato $\mathcal{Q}$.
Qualche suggerimento per il problema di partenza?
Risposte
Penso di aver trovato una possibile soluzione.
Siamo nell'insieme $\mathbb{R}[x_1,\cdots,x_n]_2$. Sia $f\in\mathbb{R}[x_1,\cdots,x_n]_2$ un polinomio omogeneo di secondo grado. Esso sarà nella forma $a_{11}x_1^2+\cdots+a_{n\n}x_n^2+a_{12}x_1*x_2+\cdots+a_{n-1,n}*x_{n-1}*x_n$.
Il problema che ho posto equivale a dimostrare che i due prodotti notevoli da me menzionati permettono di far scomparire, tramite opportuni cambiamenti di variabile, i monomi del tipo $a_{i,j}*x_i*x_j$, dove $i!=j, i
1] Desidero far scomparire i monomi del tipo $a_{i,j}*x_i*x_j$ nel caso in cui i quadrati $a_{i,i}*x_i^2$ e $a_{j,j}*x_j^2$ siano non nulli
Senza perdita di generalità, posso assumere $a_{i,i}>0$. Considero il polinomio $a_{i,i}*x_i^2+a_{j,j}*x_j^2+a_{i,j}*x_i*x_j\in\mathbb{R}[x_1,\cdots,x_n]_2$. Per la regola del completamento del quadrato, esso è uguale a $(sqrt(a_{i,i})*x_i+(a_{i,j}*x_j)/(2*sqrt(a_{i,i})))^2-(a_{i,j}^2*x_j^2)/(4*a_{i,i})+a_{j,j}*x_j^2$.
A questo punto, basta porre $y_i=(sqrt(a_{i,i})*x_i+(a_{i,j}*x_j)/(2*sqrt(a_{i,i})))^2$ e $y_j=-(a_{i,j}^2*x_j^2)/(4*a_{i,i})+a_{j,j}*x_j^2$.
2] Desidero far scomparire i monomi del tipo $a_{i,j}*x_i*x_j$ nel caso in cui almeno uno dei quadrati $a_{i,i}*x_i^2$ e $a_{j,j}*x_j^2$ sia nullo
Considero il monomio $a_{i,j}*x_i*x_j$. Posto $x_i=y_i+y_j$ e $x_j=y_i-y_j$, ottengo $a_{i,j}(y_i^2-y_j^2)$.
Reiterando per un opportuno numero di volte i cambi di variabile che ho appena enunciato, dovrei essere in grado di diagonalizzare una generica quadrica $\mathcal{Q}$.
Secondo voi il mio ragionamento è corretto?
Siamo nell'insieme $\mathbb{R}[x_1,\cdots,x_n]_2$. Sia $f\in\mathbb{R}[x_1,\cdots,x_n]_2$ un polinomio omogeneo di secondo grado. Esso sarà nella forma $a_{11}x_1^2+\cdots+a_{n\n}x_n^2+a_{12}x_1*x_2+\cdots+a_{n-1,n}*x_{n-1}*x_n$.
Il problema che ho posto equivale a dimostrare che i due prodotti notevoli da me menzionati permettono di far scomparire, tramite opportuni cambiamenti di variabile, i monomi del tipo $a_{i,j}*x_i*x_j$, dove $i!=j, i
1] Desidero far scomparire i monomi del tipo $a_{i,j}*x_i*x_j$ nel caso in cui i quadrati $a_{i,i}*x_i^2$ e $a_{j,j}*x_j^2$ siano non nulli
Senza perdita di generalità, posso assumere $a_{i,i}>0$. Considero il polinomio $a_{i,i}*x_i^2+a_{j,j}*x_j^2+a_{i,j}*x_i*x_j\in\mathbb{R}[x_1,\cdots,x_n]_2$. Per la regola del completamento del quadrato, esso è uguale a $(sqrt(a_{i,i})*x_i+(a_{i,j}*x_j)/(2*sqrt(a_{i,i})))^2-(a_{i,j}^2*x_j^2)/(4*a_{i,i})+a_{j,j}*x_j^2$.
A questo punto, basta porre $y_i=(sqrt(a_{i,i})*x_i+(a_{i,j}*x_j)/(2*sqrt(a_{i,i})))^2$ e $y_j=-(a_{i,j}^2*x_j^2)/(4*a_{i,i})+a_{j,j}*x_j^2$.
2] Desidero far scomparire i monomi del tipo $a_{i,j}*x_i*x_j$ nel caso in cui almeno uno dei quadrati $a_{i,i}*x_i^2$ e $a_{j,j}*x_j^2$ sia nullo
Considero il monomio $a_{i,j}*x_i*x_j$. Posto $x_i=y_i+y_j$ e $x_j=y_i-y_j$, ottengo $a_{i,j}(y_i^2-y_j^2)$.
Reiterando per un opportuno numero di volte i cambi di variabile che ho appena enunciato, dovrei essere in grado di diagonalizzare una generica quadrica $\mathcal{Q}$.
Secondo voi il mio ragionamento è corretto?
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