Diagonalizzazione di forme quadratiche

[chiara.15011]

Salve! Volevo chiedervi se è giusto questo procedimento per la diagonalizzazione di forme quadratiche, visto che solitamente uso sempre un altro procedimento pieno di calcoli (e dato che sono distratta..). La forma quadratica è la seguente
$q(x)=2x_1x_2+4x_1x_3-x_2x_3$
la matrice associata nella base canonica è $A=((0,1,2),(1,0,-1/2),(2,-1/2,0))$
so che $e_1$ è isotropo poichè $q(e_1)=0$ quindi mi cerco una nuova base ${v_1,v_2,v_3}$ in modo che $v_1$ non sia isotropo.
Pongo $v_1=e_1+e_2$,$v_2=e_2$,$v_3=e_3$
So che la matrice associata alla forma bilineare simmetrica nella nuova base è $B=((2,1,3/2),(1,0,-1/2),(3/2,-1/2,0))$.
Inoltre, dato che $v_1$ non è isotropo, $RR^3=\oplus$
$$$=<(1,-3,0),(0,-1,1)>$. Pongo $(1,-3,0)=w_1$ e mi chiedo se è isotropo. Non lo è perchè $b(w_1,w_1)=-4$.
$$$=\oplus$. $$$=<(x,y,z)|x=y+3z>$$=<(x,y,z)|z=-3x-y>$ e, intersecando queste equazioni ottengo $$$=<(-1/5,5,-2/5)>$$=<(-1,5,-2)>$. $(-1,5,-2)=u_1$ e non è isotropo. $RR^3=$$oplus$$oplus$ e ${v_1,w_1,u_1}$ è una base diagonalizzante. Infatti $((1,1,0),(1,-3,0),(-1,5,-2))((2,1,3),(1,0,-1/2),(3/2,-1/2,0))((1,1,-1),(1,-3,5),(0,0,-2))=((4,0,0),(0,-4,0),(0,0,8))$

Grazie!

[chiara.15011]

up

[cirasa]

A parte i calcoli che non ho controllato, l'idea è giusta.

[chiara.15011]

ok grazie mille cirasa! posso dire quindi che è una forma quadratica indefinita perchè ci sono autovalori positivi e negativi... invece la segnatura è $(2,1)$

[cirasa]

Ok, ma non li chiamerei "autovalori". Non lo sono!