Diagonalizzazione delle forme biliari degeneri

[Thomson1]

Salve a tutti ho un dubbio su un quesito d'esame. Mi viene fornita una forma biliare simmetrica $b:R^3\times R^3 \rightarrow R$ che ha matrice associata $A=$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}.Mi chiede di determinare se questa forma sia effettivamente simmetrica, cosa banale, e di determinare il nucleo di $b$. Poi le cose si fanno complicate perché mi chiede di diagonalizzare la forma bilineare e determinarne una base di Sylvester, ovvero la base di autovettori opportunamente riscaldata in cui la forma bilineare si rappresenta con una matrice diagonale del tipo (Matrice di Sylvester): \begin{pmatrix} I_{+} & 0 & 0 \\ 0 & -I_{-} & 0 \\ 0 & 0 & O \end{pmatrix}. Normalmente non ho nessun problema a risolvere questi tipi di esercizi ma ciò che mi manda in crisi è che in questo caso la forma è degenere e una richiesta esplicita è di non usare autovettori isotropi per determinare la base cercata, ma non capisco come dovrei fare. Potete aiutarmi?

[megas_archon]

Le famose forme BILIARI

[j18eos]

...ma perché non dovresti determinare i vettori isotropi per questa forma bil(ne)are simmetrica?

[Thomson1]

maledetto correttore parole come "bilineare" e "autovettore" proprio non gli piacciono
Comunque non c'è un motivo se non la richiesta di non usare vettori isotropi, a tal proposito sono incappato diciamo in una dimostrazione algoritmica che vuole costruire una base di Sylvester senza utilizzare il Teorema spettrale, e credo almeno che si applichi anche al caso complesso. Praticamente si determina il radicale della forma bilineare e si sceglie un vettore $v$ che non appartenga a questo nucleo e che non sia isotropo rispetto alla forma considerata. Dell'ortogonalità rispetto al prodotto scalare ci interessa poco o niente visto che non si usano nozioni "metriche". È importante osservare che per questo vettore vale che $V = Span(v) \oplus Span(v)^{\bot _b}$ (cosa di cui non trovo dimostrazione). Allora per avere una base che diagonalizzi la forma $b$ come richiesto basta trovare gli altri vettori nell'insime $b-$ortogonale $Span(v)^{\bot _b}$. Ma non è che mi convinca tanto questo fatto

[Thomson1]

Piccola nota è importante che questi vettori siano sempre non isotropi e che non appartengano al nucleo

[Martino]

Nella base che cerchi c'è un vettore isotropo che per giunta sta nel nucleo, quindi è impossibile trovare la base che cerchi senza usare autovettori isotropi.

[Thomson1]

Ma quindi la base di Sylvester deve necessariamente essere una base di autovettori?

[Martino]

Dovrei pensarci un attimo, non sembra ovvio che debbano essere tutti autovettori, ma sicuramente i vettori che corrispondono agli zeri sulla diagonale (della matrice diagonale) stanno nel nucleo della forma (e quindi in particolare sono isotropi).

[Noodles1]

@ Thomson

Poichè:

$[[x,y,z]]*[[0,1,2],[1,1,2],[2,2,4]]*[[x],[y],[z]]=y^2+4z^2+2xy+4xz+4yz=(x+y+2z)^2-x^2$

mediante il cambiamento di base:

$[[barx],[bary],[barz]]=[[1,1,2],[1,0,0],[0,0,1]]*[[x],[y],[z]] harr [[x],[y],[z]]=[[0,1,0],[1,-1,-2],[0,0,1]]*[[barx],[bary],[barz]]$

si ha:

$barx^2-bary^2=[[barx,bary,barz]]*[[1,0,0],[0,-1,0],[0,0,0]]*[[barx],[bary],[barz]]$

In definitiva:

$[[0,1,0],[1,-1,-2],[0,0,1]]^t*[[0,1,2],[1,1,2],[2,2,4]]*[[0,1,0],[1,-1,-2],[0,0,1]]=[[1,0,0],[0,-1,0],[0,0,0]]$

per congruenza mediante la matrice:

$[[0,1,0],[1,-1,-2],[0,0,1]]$

e non è un caso che l'unico autovettore necessario sia proprio quello isotropo:

$[[0],[-2],[1]]$