Diagonalizzazione degli endomorfismi
Come si dimostra che:
(Ipotesi) $f \in End(V)$ (dimV=n) diagonalizzabile (Tesi) tutti gli autovalori sono reali e per ogni autovalore la molteplicità geom. è uguale a quella algebrica.
Per l'implicazione inversa non ho problemi...
Io ho iniziato col considerare una base di n autovettori...pero' poi non so come andare avanti
(Ipotesi) $f \in End(V)$ (dimV=n) diagonalizzabile (Tesi) tutti gli autovalori sono reali e per ogni autovalore la molteplicità geom. è uguale a quella algebrica.
Per l'implicazione inversa non ho problemi...
Io ho iniziato col considerare una base di n autovettori...pero' poi non so come andare avanti
Risposte
Perchè gli autovalori devono essere per forza reali? E se $V$ è un $CC$-spazio vettoriale?
Secondo me una migliore formulazione è che il polinomio caratteristico deve essere interamente scomponibile.
Ti propongo comunque una dimostrazione:
Sia $f$ un endomorfismo diagonalizzabile, allora $n=dimV_(lambda_1)oplus...oplusdimV_(lambda_k)<=h(lambda_1)+...+h(lambda_k)<=n$, ove $h(lambda_i)$ è la molteplicità algebrica di ogni autovalore. Segue quindi che $h(lambda_1)+...+h(lambda_k)=n$ che tradotto vuol dire esattamente che il polinomio è interamente scomponibile in $K$.
Inoltre se sottraiamo membro a membro otteniamo $(dimV_(lambda_1)-h(lambda_1))+...+(dimV_(lambda_k)-h(lambda_k))=0$. Osserviamo che sono tutte e due quantità positive non nulle, quindi per forza deve essere $dimV_(lambda_i)=h(lambda_i)$ $AAiin{1,...,k}$ cioè molteplicità algebrica e geometria coincidono.
Se hai altri dubbi chiedi pure!
Secondo me una migliore formulazione è che il polinomio caratteristico deve essere interamente scomponibile.
Ti propongo comunque una dimostrazione:
Sia $f$ un endomorfismo diagonalizzabile, allora $n=dimV_(lambda_1)oplus...oplusdimV_(lambda_k)<=h(lambda_1)+...+h(lambda_k)<=n$, ove $h(lambda_i)$ è la molteplicità algebrica di ogni autovalore. Segue quindi che $h(lambda_1)+...+h(lambda_k)=n$ che tradotto vuol dire esattamente che il polinomio è interamente scomponibile in $K$.
Inoltre se sottraiamo membro a membro otteniamo $(dimV_(lambda_1)-h(lambda_1))+...+(dimV_(lambda_k)-h(lambda_k))=0$. Osserviamo che sono tutte e due quantità positive non nulle, quindi per forza deve essere $dimV_(lambda_i)=h(lambda_i)$ $AAiin{1,...,k}$ cioè molteplicità algebrica e geometria coincidono.
Se hai altri dubbi chiedi pure!
"mistake89":
Perchè gli autovalori devono essere per forza reali? E se $V$ è un $CC$-spazio vettoriale?
Secondo me una migliore formulazione è che il polinomio caratteristico deve essere interamente scomponibile.
Ti propongo comunque una dimostrazione:
Sia $f$ un endomorfismo diagonalizzabile, allora $n=dimV_(lambda_1)oplus...oplusdimV_(lambda_k)<=h(lambda_1)+...+h(lambda_k)<=n$, ove $h(lambda_i)$ è la molteplicità algebrica di ogni autovalore. Segue quindi che $h(lambda_1)+...+h(lambda_k)=n$ che tradotto vuol dire esattamente che il polinomio è interamente scomponibile in $K$.
Inoltre se sottraiamo membro a membro otteniamo $(dimV_(lambda_1)-h(lambda_1))+...+(dimV_(lambda_k)-h(lambda_k))=0$. Osserviamo che sono tutte e due quantità positive non nulle, quindi per forza deve essere $dimV_(lambda_i)=h(lambda_i)$ $AAiin{1,...,k}$ cioè molteplicità algebrica e geometria coincidono.
Se hai altri dubbi chiedi pure!
Noi per ora usiamo solo R.
Io non ho capito molto la tua...pero' alla fine ho cominciato x assurdo...
Supponiamo che il pol. caratteristico abbia radici non reali:
$P(\lambda)=(\lambda - \lambda_0)^(r_0) + (\lambda - \lambda_1)^(r_1) + \ldots + (\lambda - \lambda_k)^(r_k) \cdot Q(\lambda)$
quindi la somma delle molteplicità algebriche sarà sicuramente minore del grado di P, essendo esso uguale alla dimV=n.
Quindi l'insieme costituito da k autovettori presi da autovalori distinti, seppur linear.indipen. non costuiscono una base per V.
...e si ha un assurdo perchè avevamo supposto f diagonalizzabile.
Supponiamo che il pol. caratteristico abbia radici non reali:
$P(\lambda)=(\lambda - \lambda_0)^(r_0) + (\lambda - \lambda_1)^(r_1) + \ldots + (\lambda - \lambda_k)^(r_k) \cdot Q(\lambda)$
quindi la somma delle molteplicità algebriche sarà sicuramente minore del grado di P, essendo esso uguale alla dimV=n.
Quindi l'insieme costituito da k autovettori presi da autovalori distinti, seppur linear.indipen. non costuiscono una base per V.
...e si ha un assurdo perchè avevamo supposto f diagonalizzabile.
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