Diagonalizzazione con parametro
Ciao a tutti, c'è qualcuno che potrebbe aiutarmi a capire se sto facendo bene questo esercizio che vi propongo?
Sto cercando di andare avanti ma c'è qualcosa che non mi convince.... non sono sicura di aver svolto bene la prima parte....
Ho visto che ci sono alcuni thread sul forum riguardo questo argomento ma purtroppo nessuno dei tanti è riuscito a chiarirmi le idee....
Il mio esercizio mi fornisce la matrice:
$A_k=|(2k,-1,k-1),(0,-1,0),(1-k,1,2)|$
e mi chiede di trovare per quali valori di k la matrice risulta diagonalizzabile.
Inizio calcolando il polinomio caratteristico che mi viene
$p_(A_k)(t)=(-1-t)(t^2-(2k-2)t+k^2+2k+1)$
da questo calcolo gli autovalori che mi risultano essere $t_1=-1$ e $t_2=k+1$, il primo con molteplicità algebrica 1 e il secondo con molteplicità algebrica 2 (giusto?)
A questo punto vado a costruirmi le matrici inserendo gli autovalori che ho trovato:
$A_-1=|(2k+1,-1,k-1),(0,0,0),(1-k,1,3)|$ che diventa $A_-1=|(-1,k-1,2k+1),(0,k+2,k+2),(0,0,0)|$ se non mi sbaglio
Questa matrice dovrà avere $rg=2$ e per ottenere questo impongo che $k!=-2$
L'altra matrice che ottengo dal secondo autovalore è invece:
$A_(k+1)=|(k-1,-1,k-1),(0,-k-2,0),(1-k,1,1-k)|$ che diventa $A_(k+1)=|(k-1,k-1,0),(0,0,-k-2),(0,0,0)|$
Questa matrice dovrà avere $rg=1$ e per ottenere questo impongo che $k=-2$ o che $k=1$
Non posso prendere $k=-2$ perchè non è compatibile con il $k!=-2$ che ho trovato in precedenza quindi dovrei concludere dicendo che l'unico valore di k che rende la mia matrice diagonalizzabile è 1.
E' giusto secondo voi? In particolare il mio dubbio riguarda la molteplicità algebrica dell autovalore k+1, non sono sicura che sia =2....
Grazie a chiunque vorrà darmi una mano.....
Sto cercando di andare avanti ma c'è qualcosa che non mi convince.... non sono sicura di aver svolto bene la prima parte....
Ho visto che ci sono alcuni thread sul forum riguardo questo argomento ma purtroppo nessuno dei tanti è riuscito a chiarirmi le idee....
Il mio esercizio mi fornisce la matrice:
$A_k=|(2k,-1,k-1),(0,-1,0),(1-k,1,2)|$
e mi chiede di trovare per quali valori di k la matrice risulta diagonalizzabile.
Inizio calcolando il polinomio caratteristico che mi viene
$p_(A_k)(t)=(-1-t)(t^2-(2k-2)t+k^2+2k+1)$
da questo calcolo gli autovalori che mi risultano essere $t_1=-1$ e $t_2=k+1$, il primo con molteplicità algebrica 1 e il secondo con molteplicità algebrica 2 (giusto?)
A questo punto vado a costruirmi le matrici inserendo gli autovalori che ho trovato:
$A_-1=|(2k+1,-1,k-1),(0,0,0),(1-k,1,3)|$ che diventa $A_-1=|(-1,k-1,2k+1),(0,k+2,k+2),(0,0,0)|$ se non mi sbaglio
Questa matrice dovrà avere $rg=2$ e per ottenere questo impongo che $k!=-2$
L'altra matrice che ottengo dal secondo autovalore è invece:
$A_(k+1)=|(k-1,-1,k-1),(0,-k-2,0),(1-k,1,1-k)|$ che diventa $A_(k+1)=|(k-1,k-1,0),(0,0,-k-2),(0,0,0)|$
Questa matrice dovrà avere $rg=1$ e per ottenere questo impongo che $k=-2$ o che $k=1$
Non posso prendere $k=-2$ perchè non è compatibile con il $k!=-2$ che ho trovato in precedenza quindi dovrei concludere dicendo che l'unico valore di k che rende la mia matrice diagonalizzabile è 1.
E' giusto secondo voi? In particolare il mio dubbio riguarda la molteplicità algebrica dell autovalore k+1, non sono sicura che sia =2....
Grazie a chiunque vorrà darmi una mano.....
Risposte
sicura che il polinomio caratteristico sia quello? 
ora provo a rifarlo... è sbagliato?
Allora.... io lo trovo facendo i seguenti passaggi:
$det(A_k-tI_3)=[(-1-t)(2k-t)(2-t)+0+0]-[(-1-t)(k-1)(1-k)+0+0]=$
$=(-1-t)[(2k-t)(2-t)-(1-k)(k-1)]=$
$=(-1-t)(4k-2kt-2t+t^2-k+1+k^2-k)=$
$=(-1-t)(t^2-(2k+2)t+k^2+2k+1)$
Allora.... io lo trovo facendo i seguenti passaggi:
$det(A_k-tI_3)=[(-1-t)(2k-t)(2-t)+0+0]-[(-1-t)(k-1)(1-k)+0+0]=$
$=(-1-t)[(2k-t)(2-t)-(1-k)(k-1)]=$
$=(-1-t)(4k-2kt-2t+t^2-k+1+k^2-k)=$
$=(-1-t)(t^2-(2k+2)t+k^2+2k+1)$
è giusto... appena fatto...
ah bene grazie.... quindi secondo te anche il resto è giusto?
ascolta... non ho capito il passaggio che hai fatto da A(-1) all'altra matrice di A(-1)...rispiegalo
Ho fatto così:
$A_-1=|(2k+1,-1,k-1),(0,0,0),(1-k,1,3)|=$
(scambio di righe)
$=|(2k+1,-1,k-1),(1-k,1,3),(0,0,0)|=$
(scambio di colonne)
$=|(-1,2k+1,k-1),(1,1-k,3),(0,0,0)|=$
(ora faccio $R_2+R_1$)
$=|(-1,2k+1,k-1),(0,k+2,k+2),(0,0,0)|$
$A_-1=|(2k+1,-1,k-1),(0,0,0),(1-k,1,3)|=$
(scambio di righe)
$=|(2k+1,-1,k-1),(1-k,1,3),(0,0,0)|=$
(scambio di colonne)
$=|(-1,2k+1,k-1),(1,1-k,3),(0,0,0)|=$
(ora faccio $R_2+R_1$)
$=|(-1,2k+1,k-1),(0,k+2,k+2),(0,0,0)|$
io avrei fatto in maniera diversa...
ascolta una volta trovati gli autovalori studiati i vari casi...
hai t=-1 con molteplicità 1
e t=k+1 con molteplicità 2
se k è diverso da -2 ottieni 2 autovettori distinti per cui devi dimostrare che k-2 abbia moltepl. 2
se k= -2 ottieni due autovalori uguali di molteplicità 3. e devi dimostrare che hanno molt. 3
ascolta una volta trovati gli autovalori studiati i vari casi...
hai t=-1 con molteplicità 1
e t=k+1 con molteplicità 2
se k è diverso da -2 ottieni 2 autovettori distinti per cui devi dimostrare che k-2 abbia moltepl. 2
se k= -2 ottieni due autovalori uguali di molteplicità 3. e devi dimostrare che hanno molt. 3
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